§8. Смешанное произведение векторов

Пусть пространство ориентировано и -ортонормированный положительно ориентированный репер.

Смешанным произведением векторов , и (взятых в указ- анном порядке) называется скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и . Следовательно, смешанное произведение есть число. Пусть , и - некомпланарные векторы. От некоторой точки М пространства

отложим векторы , и и построим параллелепипед так, чтобы отрезки МА, MB и МС были ребрами этого параллелепи-педа. Его назовем параллеле-пипедом , построенном на векторах , и .

Заметим, что в зависимости от выбора точки М на данных векторах можно построить бесконечное множество параллелепипедов, но все они равны друг другу, поэтому имеют один и тот же объем.

Теорема 1. (геометрический смысл смешанного произведения). Если , и - три некомпланарных вектора, то абсолютная величина смешанного произведения векторов , , численно равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах:

.

Векторное произведение , где S - площадь параллелограмма, построенного на векторах и (длина вектора , - орт вектора . Следовательно, , где - длина соответствующей высоты МН параллелепипеда, причем знак "+" имеет место в том случае, когда тройки векторов и ориентированы одинаково (угол острый), а знак "-" - в противном случае.

Следовательно, , таким образом,

.

Теорема 2. Если векторы , и имеют координаты , , относительно ортонормированного базиса , то: .

Относительно ортонормированного базиса :

, и следовательно

.

Таким образом, смешанное произведение векторов совпадает с определителем этой системы векторов относительно ортонормированного базиса:

и, значит, обладает следующими свойствами:

1°. Векторы , , компланарны тогда, и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю (см. §6).

2°. Смешанное произведение некомпланарных векторов , , положительно (отрицательно) тогда и только тогда, когда тройки векторов и ориентированы одинаково (противоположно) (§6).

3°. При перестановке двух сомножителей смешанное произведение меняет знак, а его абсолютная величина не меняется.

4°. Циклическая перестановка сомножителей не меняет смешанное произведение.

Свойства 3°, 4° следуют из свойств определителя третьего порядка.

В частности и в силу коммутативности скалярного произведения .

5°. При умножении одного из векторов , , на число на то же число умножается смешанное произведение векторов , , .

6. Смешанное произведение векторов обладает свойством дистрибутивности относительно каждого сомно-жителя

Свойства 4°, 5° следуют из аналогичных свойств скалярного и векторного произведений векторов (или из свойств определителя третьего порядка).

Теорема З. Если векторы , , имеют координаты , , относительно произвольного базиса , то

.

Воспользовавшись свойствами смешанного произведения векторов, получим:

Пусть задан тетраэдр ABCD координатами своих вершин относительно ортонормированного репера : , , . Требуется найти его объем V .

Известно, что объем тетраэдра равен объема параллелепипеда, построенного на ребрах тетраэдра, исходящих из одной вершины. Поэтому (теорема I):

,

или в координатах :