§ 5. Векторное произведение векторов и его свойства

Площадь треугольника

Зададим в пространстве ортонормированный репер . Тогда пространство будет ориентировано.

Векторным произведением неколлинеарных векторов и называется вектор, обозначаемый и удовлетворяющий следующим условиям:

1. 

2. 

3. тройки векторов и ориентированы одинаково.

Если векторы и коллинеарны, то их векторным произведением считается нуль вектор.

Из определения следует, что тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны.

Пусть , - неколлинеарные векторы, значит . Тогда векторное произведение (1) - ненулевой вектор. Найдем его координаты относительно базиса .

По определению векторного произведения (условие 2) имеем: и, значит, координаты вектора являются ненулевым решением системы линейных однородных уравнений

, ,

ранг матрицы которой равен двум:

) (2)

Из третьего условия определения векторного произведения следует, что определитель системы векторов относительно базиса

положителен: (3)

(2),(3)

Наконец, первое условие определения векторного произведения позволяет найти нужное значение параметра . Заметим, что

.

Значит, (4) и

(5) .

Но (6)

(4), (5) (7)

(8)

Если векторы и коллинеарны, то и каждый из определителей, стоящих в правой части формулы (8), равен нулю. При этом по определению. Поэтому формула (8) имеет место и в этом случае. Доказана

Теорема: Если , ,то .

Разложение (8) векторного произведения заданных векторов и по векторам базиса удобно для запоминания записывать в виде "определителя":

(9)

Принимая во внимание известные свойства определителей, заключаем, что векторное произведение обладает следующими свойствами (см. формулы 8, 9)

1. 

2. (ассоциативность относи- тельно скалярного множителя );

3. , (дистрибутивность)

Отсюда следует, что линейная комбинация векторов умножается векторно на линейную комбинацию векторов по правилу умножения многочленов, но с обязательным сохранением порядка следования сомножителей. Например,

Пусть и - неколлинеарные векторы. От некоторой точки М пространства отложим вектор , и построим параллелограмм МАСВ так, чтобы отрезки МА и MB были смежными сторонами этого параллелограмма. Его назовем параллелограммом, построенным на векторах и . В зависимости от выбора точки М на данных векторах можно построить бесконечное множество параллелограммов, но все они равны друг другу, поэтому имеют одну и ту же площадь.

Из определения векторного произведения (первое условие) следует, что длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и (геометрический смысл векторного произведения векторов).

Задача. Пусть дан треугольник АВС координатами своих вершин относительно ортонормированного

репера в пространстве: , , . Требуется вычислить его площадь SАВС.

Решение: Площадь параллелограмма, построенного на векторах , численно равна |[ ]|. Следовательно, S_АВС = |[ ]|. Векторы и имеют координаты:

, поэтому пользуясь формулой (8), получаем

.

В частности, если вершины треугольника лежат в плоскости OXY, то поэтому:

.

Заметим, что пользуясь формулой (4), имеем:

|[ ]|= .