§4. Формулы преобразования координат в

пространстве

1.Рассмотрим в пространстве две аффинные системы координат и . Первую систему назовем "старой", а вторую - "новой" . Пусть - произвольная точка пространства , которая в старой системе координат имеет координаты , , , а в новой системе - : и .

Задача преобразования координат состоит в следующем: зная координаты "нового" начала координат и "новых" координатных векторов в "старой " системе:

(1) (2) (3)

( 4)

выразить (старые) координаты , , точки через (новые) координаты той же точки .

Так как , (_*)

то воспользовавшись формулами (1), (2), (3), (4) и сравнив одноименные координаты векторов, стоящих в левых частях равенства (_* ), получим :

( 5 )

Формулы (5) определяют искомую зависимость между старыми и новыми координатами точки и называются формулами преобразования аффинной системы координат в пространстве.

Заметим, что в этих формулах коэффициенты при являются соответственно координатами новых координатных векторов относительно базиса , и свободные члены - координатами нового начала относительно старой системы координат

Заметим, что в этих формулах матрица С = , составленная из коэффициентов при , есть в точности матрица перехода от базиса к базису .

Так как векторы не компланарны, то определитель матрицы С не равен нулю, det(C) 0. Поэтому система (5) разрешима относительно . Это позволяет выразить координаты точки в новой системе через координаты той же точки в старой системе.

Если в частности, новая система координат отличается от старой лишь началом координат (перенос начала), то формулы (5) принимают вид:

( 6 )

Если новая система координат отличается от старой лишь координатными векторами (замена координатных векторов), то формула (5) принимают вид :

(7)

2. Рассмотрим теперь преобразование прямоугольных систем координат.В случае перехода от одной прямоугольной системы координат к другой получаем формулы преобразования координат вида ( 5 ) , так как прямоугольная система координат является частным случаем аффинной . В данном случае на элементы матрицы С накладываются дополнительные ограничения: элементы столбцов матрицы С являются соответственно координатами единичных и взаимно ортогональных векторов в ортонормированном базисе ( ), поэтому сумма квадратов элементов каждого столбца матрицы С равна единице , а сумма произведений соответствующих элементов любых двух ее различных столбцов равна нулю.

По формулам § 2 получаем :

Отсюда, учитывая эти соотношения, замечаем ,что векторы в базисе ( ) имеют координаты :

Таким образом, сумма квадратов каждой строки матрицы С равна единице, а сумма произведений соответствующих элементов любых двух ее различных строк равна нулю .

Квадратная матрица С, обладающая такими свойствами, называется ортогональной.

Следовательно, матрица С перехода от ортонормированного базиса ( ) к ортонормированному базису ( ) является ортогональной.

Матрица С ( обратная матрице С ) перехода от базиса ( ) к базису ( ) совпадает с матрицей С , транспонированной к матрице С, и, значит,

det (С ) = det (С ) = det (С) .

Так как det (С ) = , то для ортогональной матрицы С имеем:

,

знак плюс имеет место в том случае, когда базисы ( ) и ( ) ориентированы одинаково , и знак минус, когда ориентированы противоположно.