§ 2. Прямоугольная декартова система координат в пространстве. Расстояние между двумя точками

1.Аффинный репер называется ортонормированным, если его координатные векторы единичные и попарно ортогональные. Такой репер называют также прямоугольным декартовым или прямоугольной декартовой системой координат. Ортонормированный репер с началом в точке О обозначают , то есть

, (_*)

Пусть векторы и относительно ортонормированного базиса векторного пространства имеют координаты:

,

Пользуясь определением и свойствами скалярного произведения векторов и учитывая равенства (_*) будем иметь

(если известны координаты векторов и относительно ортонормированного базиса ,то скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат этих векторов) ,

,

,

Если - единичный вектор , то

, ,

и , значит = .

Таким образом, координатами единичного вектора относительно ортонормированного базиса являются косинусы углов , образованных этим вектором с координатным векторами соответственно .Так как = 1, то

= 1.

2. Пусть точки и относительно ортонормированного репера имеют координаты , . Расстояние между точками и найдем как длину вектора .

= – =

=| | .

Расстояние между двумя точками , заданным своими координатами в прямоугольной декартовой системе , равно корню квадратному из суммы квадратов разностей одноименных координат данных точек .

§ 3. Ориентация пространства

1.Докажем теорему, которая выражает признак компланарности трех векторов, заданных своими координатами.

Теорема. Для того чтобы векторы , , , заданные координатами в произвольном базисе ( , , ), были компланарными необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство:

= 0 (1)

 Пусть векторы , , компланарны. Тогда они линейно зависимы, то есть существуют числа и не равные нулю одновременно и такие , что

+ + = (2)

(3)

Таким образом , столбцы определителя в левой части равенства (1) линейно зависимы. Из курса алгебры известно, что в этом случае , то есть выполняется равенство (1).

Обратно, пусть выполняется равенство (1). Тогда столбцы определителя линейно зависимы, то есть система ( 3) однородных линейных уравнений относительно и имеет ненулевые решения. Умножив равенства (3) соответственно на , , и сложив, получим равенство (2). Следовательно, векторы , и линейно зависимы, поэтому они компланарны. 

2. Понятие ориентации пространства вводятся по аналогии с ориентацией плоскости.

Так как любые три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке, образуют базис трехмерного векторного пространства , то в пространстве существует бесконечное множество базисов. Рассмотрим два из них:

А= , В= . Разложим векторы базиса В по векторам базиса А:

, , .

Из координат векторов можно составить матрицу третьего порядка:

Координаты вектора образуют первый столбец этой матрицы, координаты вектора - второй столбец , а координаты вектора - третий столбец. Она называется матрицей перехода от базиса А к базису В . Определитель матрицы перехода от базиса А к базису В обозначим так : А| В. Таким образом ,

А|В = | = .

Так как векторы линейной независимы, то по доказанной выше теореме имеем А| В .

Нетрудно убедиться в том , что имеет место следующее утверждение : для любых базисов А, В и С пространства выполняются равенства

1 . А|А = 1,

2 . (А|В) В|С) = (А|С),

3 . (А|В) В|А) = 1.

3. Обозначим через множество всех базисов пространства. Будем говорить, что базисы А, В из находятся в отношении (одинаково ориентированы), если А|В 0 , и запишем так: А В. Используя свойства 1 - 3 , нетрудно убедиться , что отношение является отношением эквивалентности на множестве всех базисов пространства , то есть

А А; А В В А; А В , В С А С;

(рефлексивность, симметричность и транзитивность отношения на множестве всех базисов пространства )

Покажем, что фактор-множество состоит лишь из двух элементов. Для этого рассмотрим базисы А= и В= . Так как А|В = =  1,

то классы эквивалентности К_А и К_В не совпадают. С другой стороны, любой базис С = принадлежит либо классу К_А либо классу К_В. В самом деле, по свойству 2 имеем : (А|С) = (А|В) В|С)=  (В| С) . Отсюда следует, что либо (А| С) 0 , либо (В| С) 0 . В первом случае С К_А , а во втором случае С К_В.

Каждый из элементов фактор-множества называется ориентацией векторного пространства . Выделим одну из этих ориентаций, назовем ее положительной ( а другую - отрицательной ). Векторное пространство , в котором выбрана положительная ориентация, называется ориентированным. Базисы положительной ориентации называются правыми базисами , а базисы отрицательной ориентации - левыми .

Пространство называется ориентированным , если ориентировано векторное пространство . При этом система координат = ( , , , ) называется правой (левой ), если базис ( , , ) - правый (левый).

Обычно ориентацию пространства выбирают так, чтобы оси , , правой системы координат ( ) были направлены вдоль большого , указательного и среднего пальцев правой руки. При таком выборе ориентации оси левой системы координат будут направлены вдоль соответствующих пальцев левой руки.

В дальнейшем изложении всюду , где нет специальных оговорок, предполагается , что если в пространстве выбрана система координат, то она является правой. Таким образом, если в пространстве задана система координат , то пространство считается ориентированным .