4.3 Задание № 3
Для функций f(x,y,z)w g(x,y,z)выяснить вопрос об их принадлежности к классам T0, T1, L, S, М. В случае, если некоторая функция представляет из себя функционально полный класс, выразить из неё с помощью суперпозиций константы 0,1, отрицание и конъюнкцию ху. В случае, если некоторая функция представляет из себя функционально полный в слабом смысле класс, выразить из неё с помощью суперпозиций и фиксирования переменных отрицание и конъюнкцию ху. Полученные результаты проверить с помощью построения таблиц.
f (x,y,z)= (0110 1001)
g(x,y,z) = (1101 0100)
Исследуем функцию f (x,y,z) на принадлежность к классам Поста: Построим развернутую таблицу функции f:
-
X
y
z
f
0
0
0
0
0
0
1
1
(x⊕1)(y⊕1)z
0
1
0
1
(x⊕1) y(z⊕1)
0
1
1
0
1
0
0
1
x(y⊕1)(z⊕1)
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
xyz
f(0,0,0)=0 => f T0 .
Отсюда следует, что {f} не является функционально полным классом.
f(1,1,1)=1=> f T1
Так
как наборы (0,0,0) и (1,1,1) противоположны и
f(0,0,0)=f(1,1,1)
, аналогично и для остальных наборов
(0,0,1) и (1,0,0), (0,1,1) и (1,0,0) и тд., то f
Т ак как (0,1,0) (0,1,1), но f(0,1,0) > f(0,1,1), значит, f M.
f(x,y,z)= (x⊕1)(y⊕1)z ⊕ (x⊕1) y(z⊕1) ⊕ x(y⊕1)(z⊕1) ⊕ xyz =xyz ⊕ xz ⊕ yz ⊕ z ⊕ xyz ⊕ xy ⊕yz ⊕ y ⊕ xyz ⊕ y ⊕ xz ⊕ x ⊕ xyz =xyz
Так
как полином функции не содержит
конъюнкцию, то
L.
Т ак как f M, мы можем построить с помощью данной функции только отрицание. Для этого выразим из f отрицание с помощью фиксирования переменных. На соседних наборах (0,1,0) и (0,1,1) нарушается монотонность, рассмотрим функцию p(x) = f(0,1,x). Найдем все значения функции p(x):
p(0) = f(0,1,0)=1 , p(1)=f(0,1,1)=0 => p(x)=x.
Отрицание построено. Построим развернутую таблицу функции g:
-
X
y
z
g
0
0
0
1
(x⊕1)(y⊕1)(z⊕1)
0
0
1
1
(x⊕1)(y⊕1)z
0
1
0
0
0
1
1
1
(x⊕1)yz
1
0
0
0
1
0
1
1
x(y⊕1)z
1
1
0
0
1
1
1
0
xyz
g(0,0,0)=1 => g T0 .
g(1,1,1)=0=> g T1
Так как наборы (0,0,0) и (1,1,1) противоположны и g(0,0,0)=g(1,1,1) , аналогично и для остальных наборов (0,0,1) и (1,0,0), (0,1,1) и (1,0,0) и тд., то g Так как (0,1,0) (0,1,1) и g(0,1,0) < g(0,1,1), аналогично и для остальных наборов значит, g M. Из этого следует, что {g} не является функционально полным классом.
g(x,y,z)= (x⊕1)(y⊕1)(z⊕1) ⊕ (x⊕1)(y⊕1)z ⊕ (x⊕1)yz ⊕ x(y⊕1)z ⊕ x(y⊕1)z
Т
ак
как полином функции содержит конъюнкцию,
то
L.
Из функции g невозможно получить отрицание и конъюнкцию.