4.1 Задание №1

Доопределить функции f(x,y,z), g(x,y,z), h(x,y,z) так, чтобы f M, g L, h S.

Если построение какой-либо функции невозможно, докажите это.

Выясните вопрос о принадлежности построенных функций к классам T₀ и T₁.

f(x,y,z)= (–-0 -01-)

g(x,y,z)= (0-10 –-1)

h(x,y,z)= (–10 –01)

Изобразим развёрнутую таблицу данных функций

x	y	Z	F	g	H
0	0	0	-	0	-
0	0	1	-	-	0
0	1	0	-	1	1
0	1	1	0	0	0
1	0	0	-	-	-
1	0	1	0	-	-
1	1	0	1	-	0
1	1	1	-	1	1

Доопределим функцию f, используя определение монотонной функции.

Так как f (1,0,1) = 0, то на всех наборах, предшествующих набору (1,0,1), функция тоже должна равняться 0, т. е. f (0, 0, 1) = f (1, 1, 1) = 0.

Так как f (1,1,0) = 1, то на всех наборах, которым предшествует набор (0,0,1), функция f должна принять значение 0, т. е. f (0, 1, 0) = f(1,0,0)=1. По определению монотонной функции f(0,0,0)=0, f(1,1,1)=1.

Получаем: f (x, у, z) = (00101011).

Доопределим функцию g, учитывая, что она — линейная. Общий вид линейной функции от переменных х, у, z имеет вид: g(x,y,z) = a₀ + a₁x + a₂y + a₃z.

Будем подставлять наборы значений аргументов, на которых функция определена.

Получим систему соотношений:

0 = a₀ + a₁·0 + a₂·0 + a₃·0

1 = a₀ + a₁·0 + a₂·1 + a₃·0

0 = a₀ + a₁·0 + a₂·1 + a₃·1

1 = a₀ + a₁·1 + a₂·1 + a₃·1

a₀ = 0

a₀ + a₂ = 1

a₂ = 1

a₂ + a₃ = 0

a₃ = 1

a₁ + a₀ +a₂ + a₃ = 1

a₁ = 1

Итак, g(x,y,z) = 0 + x +y + z = x + y + z

Исходя из этой формулы, найдём значения функции g на тех наборах, на которых она была не определена.

В итоге имеем: g(x,y,z) = (01101111). Доопределим функцию h, используя определение самодвойственной функции. Так как наборы (0, 0, 0) и (1, 1, 1) противоположны и h(0, 0, 0) = 0 => h(1, 1, 1) = 1.

Противоположными парами наборов значений переменных являются также (0,0,1) и (1,1,0), (0,1,0) и (1,0,1), (0,1,1) и (1,0,0). Используя известные значения функции h , получим:

Итак, h (x,y,z)= (01101001)

Т ак как h (0,0,0) = g(0,0,0) = 0 ≠ f (0,0,0), то f T₀ , g T₀, h T₀.

Т ак как f (1,1,1) = 1 ≠ f (1,1,1) то f T₁, g T₁, h T₁

4.2 Задание №2

1. Можно ли из функции f(x,y,z) с помощью суперпозиций

2. получить g(x,y,z) ?

3. Верно ли, что f(x,y,z) [g]? ([g] — замыкание класса {g})

f (x,y,z)= (0110 1111)

g(x,y,z) = (1010 0100)

Проверим f(x,y,z) на принадлежность к классам Поста

f (0,0,0) = 0 => f T_0; f (1,1,1) = 1 => f T₁;

( 0, 0, 1) (1, 0, 1) и f (0, 0, 0) > f (1, 0, 1) => f M;

f (0,0,1)= f (1,1,0)=> f S

x	y	z	f
0	0	0	0
0	0	1	1	(x⊕1)(y⊕1)z
0	1	0	1	(x⊕1) y(z⊕1)
0	1	1	0
1	0	0	1	x(y⊕1)(z⊕1)
1	0	1	1	x(y⊕1)z
1	1	0	1	xy(z⊕1)
1	1	1	1	xyz

f (x,y,z)= (x⊕1)(y⊕1)z ⊕ (x⊕1)y(z⊕1) ⊕ x(y⊕1)(z⊕1) ⊕ x(y⊕1)z ⊕ xy(z⊕1) ⊕ xyz = xyz ⊕ xz ⊕ yz ⊕ z ⊕ xyz ⊕ xy ⊕ zy ⊕ y ⊕ xyz ⊕ xy ⊕ xz ⊕ x ⊕ xyz ⊕ xz ⊕ xyz ⊕ xy ⊕ xyz = xy ⊕ xz ⊕ z ⊕ y ⊕x

Т ак как в полиноме функции f присутствуют конъюнкции, то f L.

Итак, мы видим, что функция f(x,y,z) сохраняет ноль и сохраняет единицу, значит, система {f}функционально полна в слабом смысле, и с помощью суперпозиций из f нельзя получить любую булеву функцию.

Проверим функцию g(x, y,z) на принадлежность к классам Поста:

f (0,0,0) = 1 => f T_0; f (1,1,1) = 0 => f T₁;

( 0, 0, 0) (1, 1, 1) и f (0, 0, 0) > f (1, 1, 1) => f M;

f (0,1,1)= f (1,0,0)=> f S

x	y	Z	g
0	0	0	1	(x⊕1)(y⊕1)(z⊕1)
0	0	1	0
0	1	0	1	(x⊕1) y(z⊕1)
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	1	x(y⊕1)z
1	1	0	1	xy(z⊕1)
1	1	1	0

f (x,y,z)= (x⊕1)(y⊕1)(z⊕1)⊕ (x⊕1)y(z⊕1) ⊕ x(y⊕1)z ⊕ xy(z⊕1) = xyz ⊕ xz ⊕ yz ⊕ z ⊕ xy ⊕ x ⊕ y ⊕ 1 ⊕ xyz ⊕ xy ⊕ zy ⊕ y ⊕ xyz ⊕ xz ⊕ xyz ⊕ xy = xy ⊕ x ⊕ z ⊕ 1

З начит, g L. Так как g не принадлежит ни одному из классов Поста, то g – функционально полный класс = > так как f функционально сильный в слабом смысле класс, то f .