3. Нормальные формы и полиномы
Формула вида
в которой σi - параметры, принимающие значения 0 либо 1, а среди переменных xi могут быть совпадающие, называется элементарной конъюнкцией (ЭК).
Любая дизъюнкция элементарных конъюнкций называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ).
Для любой булевой функции, отличной от тождественно ложной, существует единственное её представление в виде
,
которое называется её совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ).
Формула вида
,
в которой σi- параметры, принимающие значения 0 либо 1 , а среди переменных xi могут быть совпадающие, называется элементарной дизъюнкцией (ЭД).
Любая конъюнкция элементарных дизъюнкций называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ).
Для любой булевой функции, отличной от тождественно истинной, существует единственное её представление в виде
которое называется её совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ).
Алгоритм (перехода к ДНФ (КНФ)). Для этого необходимо:
Выразить формулу через отрицание, конъюнкцию и дизъюнкцию.
Пользуясь законами де Моргана, перейти к формуле с тесными отрицаниями, т.е. содержащей отрицание не выше, чем над переменными (пропустить отрицание внутрь формулы).
Пользуясь дистрибутивными законами, сделать дизъюнкцию внешней операцией (или конъюнкцию для КНФ).
Представление булевой функции в виде суммы по модулю 2 некоторых элементарных конъюнкций, констант называется е арифметическим полиномом (полиномом по модулю 2).
Представление булевой функции f(x1, x2,…, xn) в виде
суммы по модулю 2 некоторых правильных элементарных конъюнкций и, быть может, константы 1 называется е полиномом Жегалкина.
3.1 Задание №1
Преобразовать f(x1,x2,x3,x4), используя формулу дизъюнктивного разложения по совокупности переменных х2, x3 представляя получаемые функции от двух переменных формулами над множеством элементарных связок: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, сумма по модулю два, эквиваленция, запрет, штрих Шеффера, стрелка Пирса.
f(x1,x2,x3,x4)= (0110 1110 1101 1001)
Запишем таблицу функции f(x1,x2,x3,x4) и с её помощью составим таблицы всех четырёх функций от переменных х2, x3.
-
x1
x2
x3
x4
f
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
-
x1
x4
f(x1,0,x3,0)
f(x1,0,x3,1)
f(x1,1,x3,0)
f(x1,1,x3,1)
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1