2. Булевы функции и теория множеств

2.1 Задание №1

Выяснить взаимное расположение множеств D, E, F, если А, В, С — произвольные подмножества универсального множества U.

D
E
F

Найдём соответствующие булевы функции: f(D), f(E), f(F)

a	b	c	f(E)				f(D)				f(F)
0	0	0	1	0	0	1	1	0	0	1	1
0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	1	0	1	0	0	1	1	1	0	0	1
0	1	1	1	1	0	0	1	1	0	0	1
1	0	0	1	0	1	0	1	1	0	1	1
1	0	1	1	0	1	0	1	1	1	0	1
1	1	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	1	1	1	0	0	1	0	1	0	1

f(D) = (1011 1101)

f(E) = (1011 1111)

f(F) = (1011 1101)

Так как f(F)≡ f(D) то D=F. Заметим , что f_E ≠ f_F , и построив таблицу, можем убедиться, что f_D → f_E ≡ 1. Значит справедливы соотношения: F = D E.

2.2 Задание №2

Проверить, что для любых множеств А, В, С выполнение включения α влечёт выполнение включения β.

α	β

Составим булеву функцию, соответствующую высказыванию, которое надо доказать:

a	b	c						f
0	0	0	0	1	0	0	1	1
0	0	1	0	1	0	1	1	1
0	1	0	0	1	1	1	1	1
0	1	1	0	1	1	1	1	1
1	0	0	0	1	0	0	1	1
1	0	1	0	1	0	1	1	1
1	1	0	1	0	0	0	0	1
1	1	1	1	1	0	1	1	1

Построим таблицу, убедимся, что заключительный столбец, являющийся вектором значений функции f(a,b,c), состоит из одних единиц, что доказывает справедливость требуемого утверждения.