2. Соотношение неопределенностей.     Соотношения неопределённостей – фундаментальные соотношения квантовой механики, устанавливающие предел точности одновременного определения так называемых дополнительных физических величин, характеризующих систему (например, координаты и импульса). В упрощённой формулировке эти соотношения утверждают, что дополнительные физические величины не могут быть одновременно точно определены. Неопределённостей соотношения являются следствием двойственной, корпускулярно-волновой природы частиц материи, отражением вероятностной (статистической) сути квантовой механики.     Неопределённостей соотношения имеют вид неравенств, например, ΔxΔp > ћ = h/2π,где Δx – неопределённость координаты (частицы или системы), Δp – неопределённость её импульса, а h = 6.6·10^-34 Дж^.с = 4.1·10^-15 эВ^.с - постоянная Планка. Отсюда видно, что произведение неопределённостей координаты и импульса не может быть меньше ћ, и никаким усовершенствованием методов наблюдения нельзя преодолеть этот рубеж. Увеличение точности определения координаты неизбежно ведёт к потере точности определения импульса. Предельная точность одновременного определения координаты и импульса даётся соотношением 

Δx·Δp ≈ ћ.     Другая важная пара дополнительных физических величин – энергия Е и время t. Соотношение неопределённостей для них имеет вид ΔЕ·Δt > ћ. Это соотношение для релятивистских системы или частиц (двигающихся со скоростью близкой к скорости света с) может быть получено из соотношения неопределённостей для координаты и импульса простым преобразованием: Δx/с·Δpс = ΔtΔЕ > ћ. Полученное соотношение для времени и энергии можно трактовать следующим образом. Для того, чтобы определить энергию частицы (системы) с точностью ΔЕ, необходимо проводить измерения в течение промежутка времени Δt > ћ/ΔЕ. Следствием этого соотношения является возможность виртуальных (ненаблюдаемых) процессов, лежащих в основе механизма взаимодействия частиц в квантовой теории поля. Две частицы взаимодействуют, обмениваясь с нарушением баланса энергии на величину ΔЕвиртуальным (ненаблюдаемым) переносчиком взаимодействия, существующим в течение времени Δt < ћ/ΔЕ.     Другая трактовка соотношения ΔЕΔt ≈ ћ связана с понятием времени жизни нестабильного (распадающегося состояния системы или частицы). Так, если квантовая система в дискретном энергетическом состоянии живёт в среднем время τ ≈ Δt, то энергетическая ширина уровня Г даётся соотношением Г ≈ ΔЕ ≈ ћ/Δt ≈ ћ/τ.      В силу крайней малости константы Планка ћ, соотношения неопределённостей не играют практически никакой роли для макроскопических тел.

3. Волновая функция.

    Волновая функция (или вектор состояния) – комплексная функция, описывающая состояние квантовомеханической системы. Её знание позволяет получить максимально полные сведения о системе, принципиально достижимые в микромире. Так с её помощью можно рассчитать все измеряемые физические характеристики системы, вероятность пребывания её в определенном месте пространства и эволюцию во времени. Волновая функция может быть найдена в результате решения волнового уравнения Шредингера.      Волновая функция ψ(x, y, z, t) ≡ ψ(x,t) точечной бесструктурной частицы является комплексной функцией координат этой частицы и времени. Простейшим примером такой функции является волновая функция свободной частицы с импульсом   и полной энергией Е (плоская волна) .   Волновая функция системы А частиц содержит координаты всех частиц: ψ( ₁, ₂,..., _A,t).     Квадрат модуля волновой функции отдельной частицы |ψ( ,t)|² = ψ*( ,t)ψ( ,t) дает вероятность обнаружить частицу в момент времени t в точке пространства, описываемой координатами  , а именно, |ψ( ,t)|²dv ≡ |ψ(x, y, z, t)|²dxdydz это вероятность найти частицу в области пространства объемом dv = dxdydz вокруг точки x, y, z. Аналогично, вероятность найти в момент времени t систему А частиц с координатами  ₁, ₂,..., _A в элементе объема многомерного пространства дается величиной |ψ( ₁, ₂,..., _A,t)|²dv₁dv₂...dv_A.     Волновая функция полностью определяет все физические характеристики квантовой системы. Так среднее наблюдаемое значение физической величины F у системы дается выражением ,

где   - оператор этой величины и интегрирование проводится по всей области многомерного пространства.     В качестве независимых переменных волновой функции вместо координат частиц x, y, z могут быть выбраны их импульсы p_x, p_y, p_z или другие наборы физических величин. Этот выбор зависит от представления (координатного, импульсного или другого).     Волновая функция ψ( ,t) частицы не учитывает ее внутренних характеристик и степеней свободы, т. е. описывает ее движение как целого бесструктурного (точечного) объекта по некой траектории (орбите) в пространстве. Этими внутренними характеристиками частицы могут быть её спин, спиральность, изоспин (для сильновзаимодействующих частиц), цвет (для кварков и глюонов) и некоторые другие. Внутренние характеристики частицы задаются специальной волновой функцией её внутреннего состояния φ. При этом полная волновая функция частицы Ψ может быть представлена в виде произведения функции орбитального движения ψ и внутренней функции φ:

Ψ = φψ,

поскольку обычно внутренние характеристики частицы и её степени свободы, описывающие орбитальное движение, не зависят друг от друга.      В качестве примера ограничимся случаем, когда единственной внутренней характеристикой, учитываемой функцией  , является спин частицы, причем этот спин равен 1/2. Частица с таким спином может пребывать в одном из двух состояний − с проекцией спина на ось z, равной +1/2 (спин вверх), и с проекцией спина на ось z, равной -1/2 (спин вниз). Эту двойственность описывают спиновой функцией   взятой в виде двухкомпонентного спинора:

Тогда волновая функция Ψ^+1/2 = χ^+1/2ψ будет описывать движение частицы со спином 1/2, направленным вверх, по траектории, определяемой функцией ψ , а волновая функция Ψ^-1/2 = χ^-1/2ψ будет описывать движение по той же траектории этой же частицы, но со спином, направленным вниз.     В заключении отметим, что в квантовой механике возможны такие состояния, которые нельзя описать с помощью волновой функции. Такие состояния называют смешанными и их описывают в рамках более сложного подхода, использующего понятие матрицы плотности. Состояния квантовой системы, описываемые волновой функцией, называют чистыми.