П.2 Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа.

Пусть мы имеем дело с серией n испытаний Бернулли с вероятностью p успеха в отдельном испытании. В случае когда (р не близка к 0)

применяют приближенную формулу , лок.теор. М-Л.

Здесь — плотность распределения для нормального нормированного закона, называется функцией Гаусса, а ее график — кривой вероятностей. Значения этой функции есть в таблице.

Свойства этой функции:

• Четная

• При

Пример: Вероятность попадания по мишени =0,75.

Найти вероятность того, что из 300 выстрелов 240 окажутся удачными.

Это испытания Бернулли.

P=0,75, n=300, k=240, q=1-p=1-0,75=0,25, npq=56,25.

П.3 Интегральная предельная теорема Лапласа.

Часто требуется найти , т.е. вероятность того, что Х попадет в этот интервал. В этом случае, если используется приближенная формула

, где , .

Это нормированная функция Лапласа. Свойства:

• нечетная .

• При .

Наряду с нормированной функцией Лапласа используют функцию , которая называется функцией Лапласа. Для нее справедливо равенство . Эти функции связаны равенством .

Пример:

Вероятность попадания по мишени =0,8. Найти вероятность того, что число попаданий при 900 выстрелах заключено между числами 690 и 740.

Это испытания Бернулли.

P=0,8, n=900, k=240, q=1-p=1-0,8=0,2, .

лекция 3

Параграф 10. Случайные величины. П.1. Основные понятия.

Одним из важнейших понятий тервера (наряду со случайными событиями и вероятностью) является понятие случайной величины.

Def Случайной величиной (СВ) называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, не известное заранее.

Def Дискретной случайной величиной называется случайная величина, принимающая отделенные друг от друга значения, которые можно пронумеровать.

Def Непрерывной случайной величиной называется случайная величина, возможные значения которой непрерывно заполняют какой-то промежуток.

Пример 1) 4 раза дважды подбрасывают монету. Выпало: рр, оо, ро, ор. Рассмотрим случайную величину Х, дающую количество выпавших орлов при подбрасывании.

.

Вычислим вероятность

2) Стреляем по мишеням. Событие — это попадание в любую точку мишени. Расстояние от центра

мишени до точки, в которую попали, является

случайной величиной.

В первом случае величина дискретная, во втором — непрерывная.

Def Законом распределения СВ называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и соответствующими им вероятностями. Закон распределения может иметь различные формы.

Def Функция распределения вероятности СВ F(x)=P(X<x) наз-ся функция, выражающая вероятность того, что СВ X примет значение меньшее чем x.

Эту функцию также называют интегральной функцией распределения.

Свойства:

П.2. Дискретная св.

Законом распределения или Рядом распределения ДСВ X наз-ся таблица, где перечислены возможные значения этой величины с соответствующими им вероятностями

			…
			…

Графическое представление — полигон распределения.

Теперь можно дать более точное определение LCD/

Def CD X дискретна, если существует конечное или счетное множество чисел таких, что

Функция распределения ДСВ:

График функции распределения:

Таким образом, функция распределения ДСВ X это разрывная, со скачками в точках , функция, «непрерывная слева». Ее график имеет ступенчатый вид.

Пример: Р того, что студент сдаст экзамен по предмету А =0,7, по В =0,9. Составить закон распределения.

Х — число экзаменов в сессии. Это ДСВ.

	0	1	2

Р(Х=0)=Р(студент не сдаст ни одного экзамена)=

Сделаем проверку:

Полигон:

Функция распределения: