Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
лекции тервер упркач.doc
Скачиваний:
2
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
574.98 Кб
Скачать

Параграф 7. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Пусть требуется определить вероятность некоторого события А, которое может произойти вместе с одним из событий: , образующих полную группу несовместных событий. Эти события называют гипотезами.

В этом случае вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности:

или .

Если до опыта вероятности гипотез были , а в результате опыта появилось событие А, то с учетом этого события условные вероятности гипотез вычисляются по формуле Байеса:

Формула Байеса дает возможность пересчитать вероятности гипотез с учетом наблюдаемого

результата опыта. Вероятности гипотез, принятые до опыта называют априорными (доопытные лат.), а пересчитанные — апостериорными (послеопытные).

Пример: 1) Некоторое изделие выпускается 3

заводами. 1 завод выпускает 30% всей продукции; 2 — 60%; 3 — 10%. Доля брака: 1 — 5%; 2 — 1%; 3 — 2%. Изделия перемешали и пустили в продажу. Найти вероятность того, что приобретенное изделие окажется бракованным.

— изделие изготовлено 1 заводом

— изделие изготовлено 2 заводом

— изделие изготовлено 3 заводом

.

Событие А — купленная деталь бракованная.

По формуле полной вероятности

2) вероятность того, что куплена деталь2 завода, если она бракована.

По формуле Байеса

.

Параграф 8. Повторение опытов. Схема Бернулли.

Если проводится несколько испытаний при одинаковых условиях, причем вероятность наступления некоторого события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми.

Пример:

  • Несколько (n раз) подбрасываний монеты;

  • Стрельба по мишени (n раз) без поправок на ранее допущенную ошибку;

  • Вынимание из урны шаров (n раз), если шары каждый раз возвращаются в урну.

Если производится n независимых опытов в одинаковых условиях, причем в каждом из них с вероятностью p появляется событие А (Р(А)=р), то вероятность того, что событие А произойдет в этих n опытах ровно k раз, выражается формулой Бернулли:

Пример: Производится 3 независимых выстрела по

мишени. Вероятность попадания р=0,9. Какова вероятность: промаха, одного попадания, двух и трех попаданий?

1)

2)

3)

4)

Параграф 9. Предельные теоремы теории вероятности. П.1 Теорема Пуассона.

Если число n испытаний велико и (р достаточно мало), то применить формулу Бернулли затруднительно. Тогда применяем приближенную формулу Пуассона

Формула Пуассона находит применение в теории массового обслуживания.

Формулу Пуассона можно считать мат моделью простейшего потока событий.

def Потоком событий, называют последовательность событий, наступающих в случайные моменты времени (поток посетителей в парикмахерской, посещаемость студентов, отказ элементов).

def Свойство стационарности означает, что вероятность появления к событий на участке времени зависит только от его длины (т.е. не зависит от начала его отсчета).

def Интенсивность потока (среднее число событий, появляющихся в единицу времени) есть величина постоянная .

def Свойство ординарности означает, что событие появляется не группами, а по одиночке. Другими словами, вероятность появления более одного события на малый участок времени пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью появления только одного события (поток катеров, подходящих к причалу).

def Свойство отсутствия последствия означает, что веротность появления к событий на любом участке времени длины не зависит от того, сколько событий появилось на любом другом не пересекающимся с ним участком (говорят: «будущее» потока не зависит от «прошлого», например, поток людей, входящих в супермаркет).

Def Поток событий, обладающий свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последствия называется простейшим (пуассоновым) потоком.

Можно доказать, что вероятность появления к событий простейшего потока за время продолжительностью t определяется формулой Пуассона:

Пример:Телефонная станция обслуживает 2000

абонентов. Вероятность того, что позвонит любой из абонентов в течении часа 0,003. Какова вероятность того, что в течение часа позвонят 5 абонентов?

Среднее число позвонивших в течении часа абонентов равно 2000*0,003=6.