Параграф 7. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Пусть
требуется определить вероятность
некоторого события А, которое может
произойти вместе с одним из событий:
,
образующих
полную группу несовместных событий.
Эти события называют гипотезами.
В этом случае вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности:
или
.
Если до
опыта вероятности гипотез были
,
а в результате опыта появилось событие
А, то с учетом этого события условные
вероятности гипотез вычисляются по
формуле
Байеса:
Формула Байеса дает возможность пересчитать вероятности гипотез с учетом наблюдаемого
результата опыта. Вероятности гипотез, принятые до опыта называют априорными (доопытные лат.), а пересчитанные — апостериорными (послеопытные).
Пример: 1) Некоторое изделие выпускается 3
заводами. 1 завод выпускает 30% всей продукции; 2 — 60%; 3 — 10%. Доля брака: 1 — 5%; 2 — 1%; 3 — 2%. Изделия перемешали и пустили в продажу. Найти вероятность того, что приобретенное изделие окажется бракованным.
— изделие
изготовлено 1 заводом
—
изделие
изготовлено 2 заводом
—
изделие
изготовлено 3 заводом
.
Событие А — купленная деталь бракованная.
По формуле полной вероятности
2)
вероятность
того, что куплена деталь2 завода, если
она бракована.
По формуле Байеса
.
Параграф 8. Повторение опытов. Схема Бернулли.
Если проводится несколько испытаний при одинаковых условиях, причем вероятность наступления некоторого события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми.
Пример:
Несколько (n раз) подбрасываний монеты;
Стрельба по мишени (n раз) без поправок на ранее допущенную ошибку;
Вынимание из урны шаров (n раз), если шары каждый раз возвращаются в урну.
Если производится n независимых опытов в одинаковых условиях, причем в каждом из них с вероятностью p появляется событие А (Р(А)=р), то вероятность того, что событие А произойдет в этих n опытах ровно k раз, выражается формулой Бернулли:
Пример: Производится 3 независимых выстрела по
мишени. Вероятность попадания р=0,9. Какова вероятность: промаха, одного попадания, двух и трех попаданий?
1)
2)
3)
4)
Параграф 9. Предельные теоремы теории вероятности. П.1 Теорема Пуассона.
Если
число n
испытаний велико и
(р достаточно мало), то применить формулу
Бернулли затруднительно. Тогда применяем
приближенную формулу
Пуассона
Формула Пуассона находит применение в теории массового обслуживания.
Формулу Пуассона можно считать мат моделью простейшего потока событий.
def Потоком событий, называют последовательность событий, наступающих в случайные моменты времени (поток посетителей в парикмахерской, посещаемость студентов, отказ элементов).
def
Свойство стационарности
означает, что вероятность появления к
событий на участке времени
зависит
только от его длины (т.е. не зависит от
начала его отсчета).
def
Интенсивность
потока (среднее число событий, появляющихся
в единицу времени) есть величина
постоянная
.
def
Свойство ординарности
означает, что событие появляется не
группами, а по одиночке. Другими словами,
вероятность появления более одного
события на малый участок времени
пренебрежительно мала по сравнению с
вероятностью появления только одного
события (поток катеров, подходящих к
причалу).
def Свойство отсутствия последствия означает, что веротность появления к событий на любом участке времени длины не зависит от того, сколько событий появилось на любом другом не пересекающимся с ним участком (говорят: «будущее» потока не зависит от «прошлого», например, поток людей, входящих в супермаркет).
Def Поток событий, обладающий свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последствия называется простейшим (пуассоновым) потоком.
Можно доказать, что вероятность появления к событий простейшего потока за время продолжительностью t определяется формулой Пуассона:
Пример:Телефонная станция обслуживает 2000
абонентов. Вероятность того, что позвонит любой из абонентов в течении часа 0,003. Какова вероятность того, что в течение часа позвонят 5 абонентов?
Среднее число
позвонивших в течении часа абонентов
равно 2000*0,003=6.
