33

лекция 1 2

Параграф 1. Введение 2

Параграф 2. Случайные события. 4

Параграф 3. Действия над событиями. 6

Параграф 4. Элементы комбинаторики. 7

Параграф 5. Различные определения вероятности. 10

П.1 Классическое определение вероятности. 10

П.3 Геометрическое определение. 11

лекция 2 11

Параграф 6. Свойства вероятностей. Вероятность суммы и произведения событий. 12

Параграф 7. Формула полной вероятности. Формула Байеса. 14

Параграф 8. Повторение опытов. Схема Бернулли. 16

Параграф 9. Предельные теоремы теории вероятности. 18

П.1 Теорема Пуассона. 18

П.2 Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа. 20

П.3 Интегральная предельная теорема Лапласа. 21

лекция 3 22

Параграф 10. Случайные величины. 22

П.1. Основные понятия. 22

П.2. Дискретная СВ. 24

П.3. Непрерывная СВ. 26

Параграф 11. Числовые характеристики. 29

П.1. Характеристики положения. 29

П.2. Характеристики рассеивания. 31

лекция 1

Параграф 1. Введение

Тервер, как и др. науки, возникла из практических потребностей. Ее элементы были «знакомы еще первобытным людям»: шансы убить зверя у 2 охотников выше, чем у 1.

Возникновение тервера относится к середине 17 века. Связано оно с попыткой людей выиграть в азартные игры (кости, рулетка). Первую книгу по терверу «О расчетах в азартной игре» опубликовал голландский математик Х. Гюйгенс (1629-1695)

Любая точная наука изучает не сами явления, протекающие в природе, обществе, а их матмодели, т.е. описание явлений при помощи набора строго определенных символов и операций над ними. Все математические модели можно разделить на два класса.

К первому классу относятся детерминированные явления, в которых при каждом осуществлении определенных условий наступает некоторое событие А. Такой характер взаимосвязи описывает, например, классические законы механики. С помощью этих законов, зная силы, действующие на тело, можно по заданным начальным условиям однозначно описать их поведение в любой момент времени.

Второй класс составляют явления, наступление или ненаступление которых нельзя заранее предвидеть; такие явления называются случайными. К ним относятся, например, так называемые явления массового характера, т.е. многократно повторяющиеся опыты (процессы, наблюдения, испытания). Результаты таких опытов, как правило, зависят от большого числа различного рода причин. Здесь ожидаемый исход на основании отдельного конкретного опыта с полной уверенностью предсказать не удается, т.к. итоги опытов зависят от случайного стечения обстоятельств. Однако результаты большого числа испытаний подчиняются вполне определенным закономерностям, которые называются вероятностыми . Статистические закономерности исследуются методами спец. мат. дисциплин – теории вероятностей и математической статистики.

Теория вероятностей – матнаука, изучающая закономерности присущие массовым случайным явлениям.

Предметом тервера являются матмодели случайных явлений. Под случайным явлением понимаем явление, предсказать исход которого невозможно (при неоднократном воспроизведении одного итого же опыта оно протекает каждый раз несколько по- иному).

Пример: выпадение герба при подбрасывании монеты, выигрыш в лотерею…

Цель тервера – осуществление прогноза в области случайных явлений, влияние на ход этих явлений, контроль их, ограничение сферы действия случайности.

Параграф 2. Случайные события.

Первоначальным понятием, с которым приходится встречаться в тервере, является понятие события.

Случайное событие (или событие)— это любой возможный факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

События обозначаются, как правило, латинскими буквами A, B, C.

Достоверное событие — событие, которое произойдет обязательно.

Невозможное — которое не произойдет.

Совместные — события, которые произойдут одновременно.

Несовместные — события, которые не могут произойти одновременно.

Полная группа событий — это несовместные события такие, что, в результате опыта одно из них обязательно произойдет.

Пример: Есть 3 изделия. Из них m нестандартных.

События: 0 нестандартных деталей, 1 нестандартная деталь и т. д.

Эти 4 события образуют полную группу.

Противоположные — два события, образующие полную группу. Обозначение противоположного события .

Пример: .

События — независимые, если появление одного никак не связано с появлением другого.

События — зависимые, если осуществление одного обуславливает появление другого.

Равновозможные — событие, появление которых имеет равную возможность.

Непосредственные исходы опыта называются элементарными исходами (событиями) и обозначаются через .

Множество всех элементарных исходов называется пространством элементарных событий, обозначается через .

Пример: Перечислим все возможные элементарные

исходы при 3-х кратном бросании монеты. Событие Г — выпадение герба, Р — решки.

Элементарные исходы ГГГ, РГГ, ГРГ, ГГР, РРГ, РГР, ГРР, РРР.

Исход называется благоприятным данному событию, если его появление влечет за собой наступление такого события.

Пример: Появление герба 2 раза. Благоприятные

исходы: РГГ,ГРГ,ГГР.

Пример1: Опыт: бросание игральной кости; событие

А — выпадение 5 очков, В — четного числа очков, С — 7 очков, D — целого числа очков, Е — более 3.

Здесь 6 элементарных исходов . Событие означает, что в результате броска выпало i очков. Пространство эл.событий: .

События А и В — случайные, С — невозможное, D — достоверное.

А и В — несовместные, А и Е — совместные.

— равновозможные, образуют полную группу. — нет.