II.4. Взаимное расположение двух прямых на плоскости Лобачевского

ДОКАЖИТЕ:

Лемма: Если AB || CD, то существует ось симметрии прямых AB и CD.

ДОКАЖИТЕ:

Теорема 6: Если AB || CD, то CD || AB.

Определение: Две ненаправленные прямые на плоскости Лобачевского параллельны, если на этих прямых можно выбрать направления так, чтобы они были параллельны.

Определение: Две прямые на плоскости Лобачевского называются расходящимися (или сверхпараллельными), если они не пересекаются и не параллельны.

Через каждую точку, не принадлежащую прямой a, проходит бесконечно много прямых, каждая из которых расходится с прямой a.

Все прямые, не пересекающие прямую a, заполняют два вертикальных угла, ограниченных прямыми p и q. Граничные прямые p и q, не пересекающие прямую a, являются на плоскости Лобачевского параллельными прямой a и проходящими через A. Каждому направлению на прямой a соответствует своя параллельная прямая, проходящая через A.

Характерным свойством параллельных прямых на плоскости Лобачевского является то, что они неограниченно сближаются в направлении параллельности и неограниченно расходятся в противоположном направлении.

ВЫВОД: На плоскости Лобачевского имеются три случая взаимного расположения двух прямых: (1) прямые пересекаются; (2) прямые параллельны; (3) прямые расходятся.

ДОКАЖИТЕ:

Теорема 7: На плоскости Лобачевского две прямые, имеющие общий перпендикуляр, расходятся.

Итак, характерное свойство расходящихся прямых – наличие у них единственного перпендикуляра.

Следствие: На плоскости Лобачевского не существует общего перпендикуляра двух параллельных прямых.

III. Модель Пуанкаре планиметрии Лобачевского на евклидовой плоскости

Непротиворечивость системы аксиом доказывается представлением модели, в которой реализуются данные аксиомы. Модель планиметрии Лобачевского была предложена французским математиком Анри Пуанкаре в 1882 году.

Фиксируем на евклидовой плоскости E прямую x («горизонтальную»)  «абсолют».

Точки плоскости Лобачевского  точки плоскости E, лежащие выше абсолюта x.

Плоскость Лобачевского – полуплоскость L, лежащая выше абсолюта.

Прямые плоскости L  полуокружности с центрами на абсолюте или лучи с вершинами на абсолюте и перпендикулярные ему.

Принадлежность точки прямой понимается так же, как и на евклидовой плоскости E.

Отрезок плоскости L  дуга окружности с центром на абсолюте или отрезок прямой, перпендикулярной абсолюту (см. рис. 1).

Т очка K лежит между точками C и D (если прямая плоскости Лобачевского  полуокружность)  K принадлежит дуге CD. В условиях нашей модели это эквивалентно тому, что K' лежит между C' и D', где C', K' и D' – проекции точек C, K и D соответственно на абсолют.

Рисунок 1

Два неевклидовых отрезка называют равными, если один из них неевклидовым движением можно перевести во второй.

Неевклидово движение  преобразование L, которое является композицией конечного числа неевклидовых симметрий.

Неевклидовы симметрии  инверсии с центром на абсолюте и осевые симметрии плоскости E, оси которых перпендикулярны абсолюту.

Инверсия: Зафиксируем окружность W с центром O и радиусом R. Инверсией точки P относительно окружности W называется точка P₁, лежащая на луче OP, такая, что OPOP₁ = R².

Проверим справедливость некоторых аксиом Евклида и Лобачевского.

Аксиома I.1 (I.3). Каковы бы ни были две точки, существует прямая, проходящая через эти точки, и притом только одна.

Пусть даны точки A и B.

1 ) Прямая (евклидова) AB не перпендикулярна к абсолюту (рис. 2). Тогда серединный перпендикуляр p отрезка AB пересекает абсолют в некоторой точке O. Так как OA = OB, то полуокружность окружности S с центром в точке O и радиусом OA, лежащая выше абсолюта, является неевклидовой прямой, содержащей точки A и B. Эта прямая (неевклидова) единственна, так как на абсолюте есть лишь одна точка, равноудаленная от точек A и B, – это точка O.

Рисунок 2

2 ) Прямая (евклидова) AB перпендикулярна абсолюту (рис. 3). Тогда ее часть, лежащая выше абсолюта, будет неевклидовой прямой, проходящей через точки A и B, поскольку p || x.

Рисунок 3

Аксиома II.1 (I.4): Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Справедливость аксиомы очевидна.

Аксиома II.2 (IV.1): Прямая разбивает множество не принадлежащих ей точек плоскости на два подмножества (полуплоскости) так, что отрезок, соединяющий точки одной полуплоскости, не пересекается с прямой, а отрезок, соединяющий точки разных полуплоскостей, пересекается с прямой.

Неевклидовы полуплоскости изображены на рис. 4.

Неевклидов отрезок, соединяющий две точки неевклидовой полуплоскости, не пересекает ее границы.

Действительно, предположив противное, мы пришли бы к тому, что евклидовы окружности пересекались бы в четырех точках (рис. 5), что невозможно.

Рисунок 4

Рисунок 5

Аксиома III.1 (II.1): Каждый отрезок имеет определенную длину, большую 0. Если точка С лежит на отрезке AB, то длина отрезка AB равна сумме длин отрезков AC и BC.

1) Если неевклидов отрезок AB  евклидов отрезок (если прямая AB перпендикулярна абсолюту), то аксиома выполнена очевидно.

2) Если неевклидов отрезок AB  дуга окружности с центром на абсолюте.

Рассмотрим инверсию i относительно окружности S с центром в точке O, пересечения неевклидовой прямой AB и абсолюта и радиусом R, равным OA > OB (рис. 6).

Образ неевклидовой прямой AB  луч AB₁, где A = i(A), B₁ = i(B).

Образ неевклидова отрезка AB  отрезок AB₁ евклидова луча AB₁.B1идовой прямой AB те очка O. 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 Здесь O₂ – вторая точка пересечения неевклидовой прямой AB и абсолюта. Так как AB₁ является образом отрезка AB при неевклидовом движении, то они равны по определению и, следовательно, имеют равные длины.

Т ак как аксиома выполнена для евклидова отрезка AB₁, то она выполнена и для неевклидова отрезка AB.

Рисунок 6

Аксиома III.2 (IV.2): Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую 0. Развернутый угол равен 180. Если луч с проходит между сторонами угла (ab), то градусная мера угла (ab) равна сумме градусных мер углов (ac) и (bc).

Возможные реализации углов в модели Пуанкаре для неевклидовых углов показаны на рис. 7.

Из рисунка видно, что неевклидовыми углами являются угол между пересекающимися окружностями, а также между окружностью и пересекающей ее прямой.

Угол между пересекающимися окружностями это – угол между касательными к ним прямыми, проведенными в точке пересечения.

Угол между окружностью и пересекающей ее прямой – это угол между касательной к окружности в точке пересечения и прямой.

Рисунок 7

Величины углов на плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре равны величинам соответствующих углов на евклидовой плоскости. Поэтому все свойства углов плоскости L можно увидеть на модели Пуанкаре. Отсюда достаточно очевидна справедливость аксиомы III.2.

Аксиома параллельности Лобачевского: Пусть a  произвольная прямая, A  точка, не лежащая на прямой a. Тогда в плоскости, определяемой точкой A и прямой a, существует не менее двух прямых, проходящих через A и не пересекающих a.

Утверждение аксиомы параллельности Лобачевского выполняется не только для некоторой прямой a и некоторой точки A, не лежащей на a, но и для любой неевклидовой прямой a и любой не лежащей на ней точки A (рис. 8).

Рисунок 8

Если проверить и остальные аксиомы в модели Пуанкаре, то можно говорить о непротиворечивости геометрии (планиметрии) Лобачевского. Можно также обосновать независимость аксиомы параллельности от остальных аксиом планиметрии.