II.2. Угол параллельности. Функция Лобачевского.
Пусть a произвольная прямая, M точка, не лежащая на прямой a, MN a, Na.
Выберем на прямой a две точки A и B так, что N лежит между A и B.
Из теоремы 2 следует, что через точку M проходит единственная прямая CD || AB и единственная прямая EF || BA.
В ходе доказательства теоремы 2 устанавливается, что DMN и FMN острые углы, следовательно, CD и EF различные прямые.
ДОКАЖИТЕ: DMN = FMN
ВЫВОД: Через каждую точку M, не лежащую на данной прямой a, проходят две прямые, параллельные прямой a, в двух разных направлениях.
Эти прямые образуют равные острые углы с перпендикуляром MN, проведенным из точки M на прямую a. Каждый из этих углов угол параллельности в точке M относительно прямой a.
ДОКАЖИТЕ:
Теорема 3: Величина угла параллельности вполне определяется расстоянием от точки M до прямой a.
Пусть величина угла параллельности, x расстояние от точки M до прямой a.
= П(x) функция Лобачевского.
П(x) определена для любых x > 0, при этом 0 < П(x) < /2.
Свойства функции Лобачевского:
1) При возрастании x от нуля до бесконечности функция П(x) непрерывно убывает от /2 до 0.
2) Аналитическое
выражение:
,
где k
некоторое положительное число.
ВЫВОДЫ:
1. Существование таких зависимостей между длинами отрезков и углами означает, что на плоскости Лобачевского нет подобных фигур.
Например, на плоскости Лобачевского справедлив признак равенства треугольников: если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
2. В евклидовой геометрии существуют абсолютные константы угловых величин (прямой угол; радиан), а линейных абсолютных констант нет (нужно вводить единицу измерения). В геометрии Лобачевского: имея естественную единицу измерения углов, можно условиться о выборе естественной единицы длин. Например, за единицу длины можно выбрать отрезок, которому соответствует угол параллельности, равный /4.
II.3. Треугольники и четырехугольники на плоскости Лобачевского
Все теоремы о треугольниках (см. школьный курс геометрии), которые в евклидовой геометрии доказываются без помощи аксиомы параллельности, верны и в геометрии Лобачевского.
Примеры:
1. Теоремы о равнобедренных треугольниках.
2. Три признака равенства треугольников.
3. Теорема о внешнем угле треугольника.
4. Теоремы о соотношениях между сторонами и углами в треугольнике.
5. Теоремы о пересечении биссектрис внутренних углов треугольника и о пересечении медиан треугольника в одной точке.
Специфические свойства треугольников и четырехугольников на плоскости Лобачевского:
ДОКАЖИТЕ:
Теорема 4: Сумма углов треугольника на плоскости Лобачевского меньше 2d (меньше 180°).
Следствие: Сумма углов не одна и та же для всех треугольников.
ДОКАЖИТЕ:
Теорема 5: Сумма углов выпуклого четырехугольника на плоскости Лобачевского меньше 4d (меньше 360°).
Замечание: Разность между 180° и суммой углов треугольника называется избытком треугольника. На плоскости Лобачевского площадь треугольника пропорциональна его избытку. Следовательно, на плоскости Лобачевского площади треугольников ограничены некоторой постоянной.