3) P  точка луча pa.

Луч h лежит внутри угла QPB = QPP. Пусть h пересекает отрезок PQ в точке M. Отложим от луча PB в полуплоскость, содержащую прямую CD, угол BPM, равный PPM. Так как BPQ  внешний угол PPQ, то PPQ меньше BPQ, т.е. PPM меньше BPQ. Следовательно, PM  внутренний луч угла BPQ, т.е. по доказанному в пункте 1 этот луч пересекает луч QD в точке M₁.

Прямая PM пересекает сторону PQ треугольника PQM₁, следовательно, по аксиоме Паша прямая PM пересекает отрезок QM₁, т.е. луч h пересекает луч QD.

4) P  точка луча PB (аналогично п.3)

Теорема 2 (о существовании параллельных прямых по Лобачевскому): Пусть AB  произвольная направленная прямая, M  точка, не лежащая на прямой AB. Тогда в плоскости MAB существует одна и только одна прямая CD, проходящая через точку M и параллельная прямой AB, т.е. CD || AB.

Доказательство:

I. Существование.

Проведем MN  перпендикуляр к прямой AB, MP  перпендикуляр к прямой MN, причем P и B лежат по одну сторону от прямой MN. Так как рассматриваются два прямых угла, то прямые MP и NB не пересекаются.

Рассмотрим отрезок NP.

Разобьем его на два класса K₁ и K₂ по закону:

• К классу K₁ отнесем те точки X отрезка NP, для которых луч MX пересекает луч NB.

• К классу K₂ отнесем все остальные точки отрезка NP.

Покажем, что указанное разбиение удовлетворяет условиям разбиения Дедекинда.

1) Очевидно, что NK₁, PK₂.

Класс K₁ содержит точки, отличные от N (например, точки X пересечения луча MX₁ с отрезком NP, где X₁  произвольная точка луча NB).

Покажем, что класс K₂ содержит точки, отличные от P.

По аксиоме Лобачевского существует прямая MS₁, отличная от прямой MP и не пересекающая прямую AB.

Пусть MS₂  прямая, симметричная прямой MS₁ относительно прямой MN.

MS₂ тоже не пересекает прямую AB.

Одна из прямых MS₁ или MS₂ проходит внутри угла NMP и пересекает отрезок NP в некоторой точке YK₂.

2) Пусть X  произвольная точка класса K₁ и X  N, Y  произвольная точка класса K₂. Луч MX  внутренний луч угла NMY (если нет, то MY  внутренний луч угла NMX, следовательно, MY пересекает отрезок NX₁, т.е. YK₁).

Итак, на множестве точек отрезка NP имеем дедекиндово сечение.

Пусть D  дедекиндова точка. Докажем, что DK₂.

Пусть DK₁, тогда луч MD пересекает луч NB в точке D₁. На луче NB возьмем точку T₁ так, чтобы луч MD₁ был внутри угла NMT₁. Луч MT₁ пересекает отрезок DP в точке TK₁ (это противоречит тому, что D  дедекиндова точка). Следовательно, DK₂.

Поскольку DK₂, то MD не пересекает луч NB.

На прямой MD возьмем точку C так, чтобы M лежала между C и D.

По признаку параллельности прямых CD | | AB.

II. Единственность.

Пусть CD и CD  две прямые, параллельные AB, проходящие через точку M.

По определению параллельных прямых по Лобачевскому внутренние лучи углов NMD и NMD пересекают луч NB. Следовательно, лучи MD и MD лежат в той же полуплоскости с границей MN, что и луч NB. Итак, MD  внутренний луч угла NMD, либо MD  внутренний луч угла NMD. Но тогда одна из прямых CD или CD пересекает AB.