8. Уравнение Шредингера, собственные значения энергии для свободной частицы

Уравне́ние Шрёдингера — уравнение, описывающее изменение в пространстве (в общем случае, в конфигурационном пространстве) и во времени чистого состояния, задаваемого волновой функцией, в гамильтоновых квантовых системах. Уравнение Шрёдингера предназначено для частиц без спина, движущихся со скоростями много меньшими скорости света. В случае быстрых частиц и частиц со спином используются его обобщения

Общее временное уравнение Шредингера

Случай трёхмерного пространства

В трёхмерном случае пси-функция является функцией трёх координат и   в декартовой системе координат заменяется выражением

В стационарном случае уравнение Шредингера имеет вид

Функции Y, удовлетворяющие уравнению Шредингера при данных U, называются собственными функциями.

Значения Е, при которых существуют решения уравнения (выше), называются собственными значениями.

В качестве примера определимy и Е для свободной частицы.

Свободной называют частицу, на которую не действуют силы, т.е.  . Cледовательно, U(x)=const и ее можно принять равной нулю

9. Частица в глубокой потенциальной яме

 Потенциальная яма – ограниченная область пространства с пониженной потенциальной энергией частицы. Потенциальная яма обычно отвечает короткодействующим силам притяжения. В области действия этих сил потенциал отрицателен, вне – нулевой.    Энергия частицы Е есть сумма её кинетической энергии Т  > 0 и потенциальной U (может быть как положительной, так и отрицательной). Если частица находится внутри ямы, то её кинетическая энергия Т₁ меньше глубины ямы U₀, энергия частицыЕ₁ = Т₁ + U₁ = Т₁ - U₀ < 0 и частица не может покинуть яму (находится в связанном состоянии). Она двигается в ней с кинетической энергией Т₁, отражаясь от стенок. Если частица находится на дне ямы, то её кинетическая энергия Т₂ = 0 и Е₂ = -U₀ < 0(частица лежит на дне ямы). Это положение частицы наиболее устойчиво. Если частица вне ямы имела кинетическую энергию Т₃ то она беспрепятственно пересекает яму, преодолевая её с возросшей кинетической энергией Т₃ + U₀.     В квантовой механике энергия частицы, находящейся в связанном состоянии, может принимать лишь определённые дискретные значения, т.е. существуют дискретные уровни энергии. При этом наинизший (основной) уровень всегда лежит выше дна ямы. По порядку величины расстояние ΔЕ между уровнями частицы массы m в глубокой яме шириной а даётся выражением ΔЕ ћ²/mа².     Пример потенциальной ямы – ядерная яма глубиной 40- 50 МэВ и шириной 10^-13–10^-12 см, в которой на различных уровнях находятся нуклоны, двигающиеся со средней кинетической энергией 20 МэВ.     На простом примере движения частицы в одномерной бесконечной прямоугольной яме можно легко увидеть, как возникают дискретные значения энергии. В классическом случае частица, двигаясь от одной стенки к другой, принимает любое значение энергии, в зависимости от сообщенного ей импульса. В квантовой системе ситуация совсем другая. Если движение квантовой частицы происходит в ограниченной области пространства, спектр энергий оказывается дискретным.

Рис. 2. Бесконечная прямоугольная потенциальная яма.

    Итак, пусть частица массы m находится в одномерной потенциальной яме бесконечной глубины (рис. 2). Потенциальная энергия U удовлетворяет следующим граничным условиям

.

(1)

При таких граничных условиях частица находится внутри потенциальной ямы 0 < x < L и не может выйти за ее пределы, т.е.

ψ(x) = 0       x < 0, x > L

(2)

Используя станционарное уравнение Шредингера для случая U = 0, получим