Связь с градиентом
Производную по направлению дифференцируемой по совокупности переменных функции можно рассматривать как проекцию градиента функции на это направление, или иначе, как скалярное произведение градиента на орт направления:
,
где 
—
орт направления. Отсюда следует, что
максимальное значение в точке производная
по направлению принимает, если направление
совпадает с направлением градиентафункции
в данной точке. Также видно, что значение
производной по направлению не зависит
от длины вектора
.
22.1-2 Теорема о существовании и непрерывности и диференцируемости неявной функции (одного и многих переменных).
23.1 Экстремум функции многих переменных.
Определение. Пусть функция f (х, у) определена в точке M0 (x0, y0) и в некоторой её окрестности. Функция f (х, у) имеет максимум в точке(x0, y0), если f (x0, y0) > f (х, у) для всех точек (х, у). из некоторой окрестности точки(x0, y0). Если же f (x0, y0) < f (х, у)., то функция f (х, у) имеет минимум в точке M0 (x0, y0). Точки, в которых функция принимает максимальное и минимальное значения, называются экстремальными.
Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если функция f (х, у) имеет в точке M0 (x0, y0) экстремум, то все частные производные первого порядка от f (х, у) или равны нулю, или не существуют в этой точке.
23.2 Условный экстремум.
Условный экстремум. Метод Лагранжа.
Условным
экстремумом функции 
в
точке 
называется
экстремум этой функции, достигнутый
при условии, что переменные x и у в
окрестности данной точки удовлетворяют
уравнению связи 
.
Название
«условный» экстремум связано с тем, что
на переменные наложено дополнительное
условие
.
Если из уравнения связи можно выразить
одну переменную через другую, то задача
определения условного экстремума
сводится к задаче на обычный экстремум
функции одной переменной. Например,
если из уравнения связи следует 
,
то, подставив в
,
получим функцию одной переменной
.
В общем случае, однако, такой метод
малопригоден, поэтому требуется введение
нового алгоритма.
Метод множителей Лагранжа
Для
отыскания условного экстремума составляют
функцию Лагранжа:
.
Необходимые условия экстремума задаются
системой уравнений, из которой определяются
стационарные точки:
Достаточным
условием, из которого можно выяснить
характер экстремума, служит знак 
.
Если в стационарной точке 
,
то функция
имеет
в данной точке условный минимум, если
же 
,
то условный максимум.
Примечание (желательное для более полного понимания текста): показать\скрыть
Есть
и другой способ для определения характера
экстремума. Из уравнения связи
получаем: 
, 
,
поэтому в любой стационарной точке
имеем:
Второй
сомножитель (расположенный в скобке)
можно представить в форме 
.
Определитель H называется
гессианом функции Лагранжа. Если 
,
то
,
что указывает на условный максимум.
Аналогично, при 
имеем
,
т.е. имеем условный минимум функции
.
Алгоритм исследования функции двух переменных на условный экстремум
1. Составить функцию Лагранжа 2. Решить систему
3. Определить характер экстремума в каждой из найденных в предыдущем пункте стационарных точек. Для этого применить любой из указанных способов:
• Составить
гессиан и определить его знак,
• С
учетом уравнения связи вычислить знак 
.