6.4 Ограниченность функции в окрестности точки непрерывности.
Локальные
Функция, непрерывная в точке , является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.
Если функция
непрерывна
в точке
и 
(или 
),
то 
(или 
)
для всех 
,
достаточно близких к
.Если функции и
непрерывны
в точке
,
то функции 
и 
тоже
непрерывны в точке
.Если функции и непрерывны в точке и при этом
,
то функция 
тоже
непрерывна в точке
.Если функция непрерывна в точке и функция непрерывна в точке
,
то их композиция 
непрерывна
в точке
.
Глобальные
Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём.
Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.
Областью значений функции , непрерывной на отрезке
,
является отрезок 
где
минимум и максимум берутся по отрезку
.Если функция непрерывна на отрезке и
то
существует точка 
в
которой 
.Если функция непрерывна на отрезке и число
удовлетворяет
неравенству 
или
неравенству 
то
существует точка
в
которой 
.Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна.
Монотонная функция на отрезке непрерывна в том и только в том случае, когда область ее значений является отрезком с концами
и 
.Если функции и непрерывны на отрезке , причем
и 
то
существует точка
в
которой 
Отсюда,
в частности, следует, что любое непрерывное
отображение отрезка в себя имеет хотя
бы одну неподвижную точку.
7.1 Теорема Вейерштрасса о гранях непрерывной функции.
Пусть
дана непрерывная числовая функция,
определённая на отрезке, то есть 
и 
.
Пусть
— точные
верхняя и нижняя
границы множества значений функции
соответственно.
Тогда эти значения конечны (
)
и достигаются (существуют 
такие,
что 
).
Доказательство для r
Пусть 
—
функция, отвечающая условиям теоремы
(на компакте
), 
.
Возьмём последовательность чисел 
таких,
что 
и 
.
Для каждого 
найдётся
точка 
,
такая что 
.
Имеем дело с компактом, поэтому,
согласно теореме Больцано —
Вейерштрасса из последовательности
можно
выделить сходящуюся последовательность 
,
предел которой лежит в
.
Для
любого
справедливо 
,
поэтому, применяя предельный переход,
получаем 
и
в силу непрерывности функции существует
точка 
такая,
что 
и,
следовательно 
.
Таким образом
функция
ограничена
и достигает своей верхней грани при 
.
Аналогично и для нижней грани.
7.2 Теорема Больцано-Коши о промежуточных значениях.
Пусть
дана непрерывная функция на отрезке 
Пусть
также 
и
без ограничения общности предположим,
что 
Тогда
для любого 
существует 
такое,
что 
.
Доказательство
Рассмотрим
функцию 
Она
непрерывна на отрезке
и 
, 
Покажем,
что существует такая точка 
,
что 
Разделим
отрезок
точкой 
на
два равных по длине отрезка, тогда
либо 
и
нужная точка 
найдена,
либо 
и
тогда на концах одного из полученных
промежутков функция 
принимает
значения разных знаков (на левом конце
меньше нуля, на правом больше).
Обозначив
полученный отрезок 
,
разделим его снова на два равных по
длине отрезка и т.д. Тогда, либо через
конечное число шагов придем к искомой
точке
,
либо получим последовательность вложенных
отрезков 
по
длине стремящихся к нулю и таких, что
Пусть
-
общая точка всех отрезков
, 
Тогда 
и
в силу непрерывности функции 
Поскольку
получим, что
7.3 Теорема Кантора о равномерной непрерывности.
8.1 Дифференцируемость, таблица производных.
8.2 Производная сложной функции.
8.3 Дифференцируемость обратной функции.
Теорема.
Пусть функция 
является обратной для функции 
.
Если существует отличная от нуля
производная функции
по переменной x, то существует и
производная обратной функции
по переменной y. При этом
Доказательство. По определению производной
Согласно
теореме о непрерывности дифференцируемых
функциях, 
является непрерывной функцией и,
следовательно, 
при
∆x → 0. Тогда
что влечет за собой доказываемое утверждение.
8.4 Знак производной и монотонность функции.
9 Теорема Ферма о производной в точке экстремума.
Пусть функция 
имеет
во внутренней точке области
определения 
локальный
экстремум. Пусть также существуют односторонние
производные 
конечные
или бесконечные. Тогда
если — точка локального максимума, то
если — точка локального минимума, то
В частности, если функция имеет в производную, то
Доказательство
Предположим,
что 
.
Тогда 
.
Поэтому:
,
.
Если
производная 
определена,
то получаем
,
то есть 
10 Теорема Ролля о нуле производной.
Теорема Ро́лля (теорема о нуле производной) утверждает, что
Если вещественная функция, непрерывная на
отрезке |
и дифференцируемая на
интервале 
,
принимает на концах этого интервала
одинаковые значения, то на этом
интервале найдётся хотя бы одна точка,
в которой производная функции равна
нулю.Доказательство
Если функция на отрезке постоянна, то утверждение очевидно, поскольку производная функции равна нулю в любой точке интервала.
Если же нет, поскольку значения функции в граничных точках сегмента равны, то согласно теореме Вейерштрасса, она принимает своё наибольшее или наименьшее значение в некоторой точке интервала, то есть имеет в этой точке локальный экстремум, и по лемме Ферма, в этой точке производная равна 0.
Геометрический смысл
Теорема утверждает, что если ординаты обоих концов гладкой кривой равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс.
Следствие
Если непрерывная функция
обращается в ноль в
различных
точках, то ее производная обращается в
ноль по крайней мере в 
различных
точках, причем эти нули производной
лежат в выпуклой оболочке нулей исходной
функции. Это следствие легко проверяется
для случая действительных корней, однако
имеет место и в комплексном случае.
11.1 Теорема Коши о среднем.
11.2 теорема Лагранжа о среднем.
12 Теорема Дарбу о свойстве производной.
13.1 Формула Тейлора с общим остатком.
Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции вокрестности некоторой точки.
Теорема:
тогда:
|
производную в
некоторой окрестности точки
, 
—
произвольное положительное число,
точка 
при 
или 
при 
:
Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).