Ответы на экзаменационные билеты_2 / Вопрос№59

№59.Производные обратных тригонометрических функций.

1)Рассмотрим ф-цию y=arcsinx;-1≤x≤1.Обратной этой ф-ции явл. x=siny (-π/2≤y≤π/2) Причём производная обратной ф-ции сущ. x’(y)=cosy;≠0;для любого у из(-π/2;π/2) =>по теореме о дифф. Обратной ф-ции имеем y’(x)=1/x’(y)=1/cosy=1/cos(arcsinx)=1/√(1-sin²(arcsinx))=1/√(1-x²) (arcsinx)’=1/√(1-x²) Аналогично (arccosx)’= -1/√(1-x²) xε(-1;1) 2)y=arctgx x xε(-∞;∞)Обратная x=tgy -π/2≤y≤π/2 Производная обратной ф-ции сущ. x’(y)=1/cos²y≠0 для любого у ε(-π/2;π/2) ) =>по теореме о дифф. Обратной ф-ции имеем y’(x)=1/x’(y)=cos²y=cos²(arctgx)=1/1+tg²(arctgx)=1/1+x² (arctgx)’=1/1+x² xε(-∞;∞) Аналогично (arсctgx)’= -1/1+x²) (с графиками).