Ответы на экзаменационные билеты_2 / Вопрос№40

№40.Теорема о разности между переменной величиной и её пределом.

Опр:число а назыв.пределом переменной величины х если для любого сколь угодно малого положительного числа  можно указать такое значение переменной х, начиная с которого все последующие знач.переменной будут удовлетворять след.нер-ву: |х-а|<;-<x-a<;a-<x<a+ (см.рис.1.). а=limх при ха. Пример:х₁=1+1;х₂=1+¹/₂;х₃=1+¹/₃;……;х_n=1+¹/_n… Докажем пользуясь опр.,что lim_x→∞x_n=1: Рассм. |x_n-1|<;|1+¹/_n-1|<;¹/_n<;n>¹/_.=>,что все члены последовательности с номерами большими чем ¹/_ будут удовлетворять след.нер-ву: |x_n-1|<.ч.т.д. Замечания:1)очевидно, что предел постоянной величины=самой постоянной,т.е. limc=c,где c=const. Действит.возьмём >0 и рассм. |х-с|=|с-с|=0<,для >0. 2)переменная величина не может иметь двух различных пределов. Действит-но limx=a и limx=b,a≠b.пусть для определённости a<b,тогда согласно определению если limx=a и limx=b,то сущ.знач.х, начиная с кот-ого все послед.знач.удовлетворяют нер-ву. limx=a и limx=b; |x-а|< и |x-b|<, а это невозможно если взять <(b-a)/2(см.рис.2). …,если y переменой величины сущ.,то этот предел единственный. Говорят,что переменная х∞ если для каждого наперёд заданного положит-но числа М сущ.такое знач.х, начиная с кот-ого все послед.знач.х удовлетворяют нер-ву |х|>M.если переменная х∞, то её назыв.бесконечно большой переменной величиной (б.м.в.).Пример:х₁=-1,х₂=2,х₃=-3…х_n=(-1)ⁿ*n-эта переменная величина будет бесконечно малойсм.(рис.3).Говорят,что переменная величина х+∞,если для М>0 все послед.знач.х удовлетворяют нер-ву. Пример: х₁=1,х₂=2…х_n=n…(см.рис.4.).Говорят,что переменная х-∞,если для любого M>0 все послед.знач.х начиная с нек-ого удовл.нер-ву.x<-M(см.рис.5). Пример. х₁=-1,х₂=-2,х₃=-3…х_n=-n…