Ответы на экзаменационные билеты_2 / Вопрос№8

№8.Теорема Кронекера-Капелли. Метод Гаусса.(вместе с вопросом№9)

Рассм.систему m-линейных ур-ий с n-неизвестными: { (1). Решением этой системы называется совокупность чисел (х₁,х₂,…,х_n),кот-ые при подстановке вместо неизвестных в урав-ие системы обращает эти урав-ия в тождества. Система(1) назыв.совместной если она имеет хотя бы одно решение, несовместной если она не имеет решений. Совместная система назыв.определ-ой если она имеет только одно решение и неопределённой если она имеет больше 1-ого решения. Матрицы А=( ) (А/В)=( ). Матрицы А и А/В назыв.соответ-но матрицей и расширенной матрицей системы (1). Теорема. Линейная система (1)совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы и расширенной системы равны, т.е. r(A)=r(A/B)=r. Если r=n, имеет единств.решение. Если r<n=>решений бесконечно много. Пусть r<n.Рассм.какой-нибудь базисный минор матрицы А. Выделим в этом миноре произвольную строку. Элементы этой строки являются коэффицентами при r неизвестных в одном из уравнений системы (1). Эти r-неизвестных назовём базисные, а остальные r-n-неизвестные-свободным. Выделим в системе (1)r-урав-ий, среди коэф-ов кот-ых содержатся элем-ты базисного минора. Базисные неизвестные в выделенных урав-ях системы оставим в левых частях, а слагаемые, кот-ые содержат свободные неизвестные, перенесём вправо. Из полученных ур-ий выразим базисные неизвестные через свободные. Придавая свободным неизвестным произвольные значения можно найти соответствующие значения базисных неизвестных =>система(1) будет иметь бесконечно много решений.