Ответы на экзаменационные билеты_2 / Вопрос№49

№49.Три определения непрерывности ф-ции в точке. Классификация точек разрыва.

Ф-ция у=f(х) назыв.непрерывной на интервале (а;b) если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Опр. lim_xa+0f(x)=f(a), то ф-ция f(х) называется непрерывной в точке а справа. (см.рис.1). lim_xb-0f(x)=f(b), то ф-ция f(х) называется непрерывной в точке b слева. Опр: ф-ция у=f(х) назыв. непр.на отрезке [a;b] если она непрерывна в каждой точке интервала (а;b), непрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке b. Если в какой-то точке х_о для ф-ции у=f(х) не выполняется хотя бы одно условие непрерывности, то ф-ция у=f(х) разрывна в точке х_о. В этом случае точка х_о называется точкой разрыва для ф-ции у=f(х). Существуют три вида точек разрыва. 1)если существует предел lim_xхоf(x)=a, но он не равен значению ф-ции в точке х_о, тогда точка х_о – точка устранимого разрыва. (см.рис.2). 2)если существует предел ф-ции f(x) при х стремящемся от х_о справа,т.е. lim_xхо+0f(x)=f(x_o+0). Существует предел ф-ции f(x) при хх_о слева, т.е. lim_xхо-0f(x)=f(x_o-0), но они не равны между собой f(x_o+0)≠f(x_o-0), то х_о-точка разрыва 1-го рода (точка скачка). (см.рис.3). Разность f(x_o+0)-f(x_o-0)-величина скачка в точке х_о, т.е. всегда от правостороннего отнимается левосторонний. 3)если хотя бы один из односторонних пределов в точке х_о не сущ. или равен ∞, то точка х_о называется точкой разрыва второго рода. (см.рис.4.).  lim_xхо-0f(x)=a; lim_xхо+0f(x)=+∞. Примеры (см.на др.стороне.). 3)-_{(продолжение)} у=^х/_|х|, х≠0 lim_х0+ ^х/_|х|= lim_х0 ^х/_х=1 и lim_х0- ^х/_|х|= lim_х0 ^х/_-х=-1 => по определению, что точка х=0 – точка разрыва 1-го рода. (см.рис.5.).