Ответы на экзаменационные билеты_2 / Вопрос№73

№73.Второй достаточный признак существования экстремума ф-ции.

Пусть f’(x0)=0 и кроме того f’’(x)непрер. и сущ.в некоторой окр.т.х0Тогда f’’(x)>0,x0-min; f’’(x)<0,x0-max Док-во.Пусть f’(x0)=0 и ; f’’(x0)<0Т.к.по усл. f’’(x)непрер. в некоторой окр.т.х0,то найдется некоторый малый отр. Содержащ.т.х0,внутри которого f’’(x0)<0 Т.к. f’’(x)=(f’(x))’ то из усл.,что . f’’(x)<0=>(f’(x))’<0 =>f’(x)-убывает на дост.малом отр.содерж.т.x0 f’(x0)по усл.=0 => f’(x)>0 при x<x0; f’(x)<0 при x>x0;=>что при перех.через т.х0 произв. меняет знак с +на- ,то в т.х0-ф-ция имеет max.Аналогично для min.ЗамечаниеЕсли в критической точке f’’(x)=0,то в этой точке может быть или max или min,а может и не быть.