Ответы на экзаменационные билеты_2 / Вопрос№62

№62.Дифференциал ф-ции, его геометрический смысл.

Пусть ф-ция y=f(x)дифф.на отр.ab,существует f’(x)=lim(∆x0)∆y/∆x => ∆y/∆x=f’(x)+α,где α0. ∆y=f’(x)∆x+α∆x (1)Т.к. в общем случае f’(x)≠0,то при постоянном х и переменном ∆х→0,первое слагаемое в рав-ве(1)есть б.м.в.,того же порядка что ∆х.Авторое слагаемое-б.м.в. более высокого порядка чем ∆х lim(∆x→0)α∆x/∆x=0. Таким образом приращение ф-ции ∆у состоит из двух слагаемых из которых 1-ое –главная часть приращения относительно ∆х f’(x)∆x-называют дифференциалом ф-ции и обозначают dy или df(x) dy= f’(x)∆x По опр. Полагают,что дифф. Переменного dx=∆x Это опр. Оправдано,т.к.если y=х,то dy=dx=∆x dx=∆x dy=f’(x)dx,отсюда f’(x)=dy/dx.Т.е. произв. можно представить как отношение дифференциала ф-ции к дифф. арг-та Из (1)=> ∆y=dy+α∆x Т.е. приращение ф-ции отлич.от диф. На б.м.в.более высокого порядка чем ∆х α∆х-б.м.в.более высокого порядка,чем dy.Поэтомув приближённых вычислениях пользуются равенством ∆y≈dy f(x+∆x)≈f(x)+f’(x)∆x-формула для приближ.вычислений.Правила относящиеся к производным сохр. и для дифференциаловПример y=tg²x dy=2tgx*1/cos²x*dx

Геометр.смысл.дифференциала Рассмотрим y=f(x)и соотв. ей кривую(рисунок) NT=MNtgα=∆xf’(x)=dy таким образом, дифф.ф-ции y=f(x) соответств.данным значениям х и ∆х равен приращению ординаты касательной к гр-ку ф-ции f(x) в точке х.