Ответы на экзаменационные билеты_2 / Вопрос№72

№72.Первый достаточный признак существования экстремума ф-ции.

Пусть ф-ция y=f(x),непрерывна в некотором инт.содержащим т.х0 и дифф. Во всех точках этого интервала.Если при переходе через т х0 слева на право произв. меняет знак с +на- ,то в т.х0-ф-ция имеет max.Док-воПусть при переходе через т х0 слева на право произв. меняет знак с +на-Т.е.для всех х достаточно близких к.т.х0 имеем f’(x)>0при x<x0Применим к отр.[х0;х]теорему Лагранжа Получим f(x)-f(x0)=f’(c)(x-x0),где с лежит между х х0 1)x<x0 f’(c)(x-x0)<0 f(x)<f(x0) 2)f’(c)<0 => f(x)<f(x0) Из (1)и (2)следует что f(x)<f(x0)для любых х достаточно близких к знач.х0 =>по опред.в т.х=х0 ф-ция имеет max.Аналогично для min.