Ответы на экзаменационные билеты_2 / Вопрос№6

№6.Ранг матрицы. Эквивалентные матрицы.

Пусть дана прямоугольная матрица: А=( ). Выделим в этой матрице k-произвольной строк и k-произвольной,k≤m,k≤n. Опр.опред-ль k-ого порядка, составл-ый из элем-ов матрицы А, расположенных на пересечении выделенных строк и столбцов называется минором k-ого порядка матрицы А. Матрица А имеет С^k_n. С^k_n =(m!/k!(m-k)!)×(n!/k!(n-k)!). Рассмотрим все возможные миноры матрицы А, отличные от нуля. Опр.рангом матрицы А назыв.наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля. Если все элем-ты матрицы А=0,то ранг этой матрицы считают=0. Всякий отличный от нуля минор матрицы А, порядок кот-го=рангу этой матрицы назыв.базисным минором матрицы А. Из опред-ия=>1)ранг матрицы r(А)=r-есть целое число, причём rN,0≤r≤min(m,n). 2)все миноры (r+1)-ого порядка матрицы А=0 или не существуют, а среди миноров r-ого порядка есть хотя бы один, отличный от нуля. Опр.Если ранг матрицы А=рангу матрицы В, r(A)=r(B),то АВ.Теорема.ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях,под преобраз-ми поним.1)замену строк столбцами, а столбцов соответ-ми строками. 2)перестановку строк матрицы. 3)вычёркивание строки, состоящей из нулей. 4)умножение элем-ов какой-либо строки на число, отличное от нуля. 5)прибавление к элементам одной строки соотв.элементов другой строки. Вычислять ранг матрицы, пользуясь определением очень громоздкая и трудоёмкая задача. На практике для вычисления ранга матрицы А необходимо свести её элементарными преобразованиями к такой матрице, ранг кот-ой находится легко,например ступенчатой матрицы В. В=( ),где b₁₁ b₂₂ b₃₃≠0. r(B)=r, т.к.минор r-ого порядка, составленный из первых r-строк и r-столбцов= b₁₁ b₂₂ b₃₃≠0,а миноры более высокого порядка составить нельзя. Ранг матрицы В=числу не нулевых строк этой матрицы. Пример.(см.на др.стороне.).