Ответы на экзаменационные билеты_2 / Вопрос№58

№58. Производная логарифмической функции. Логарифмическое дифференцирование, производная степенно-показательной функции.

Производная от log_ax, равна или . Если ∆y есть приращение функции y=log_ax, соответствующее приращению ∆x аргумента x, то y+∆y=log_a(x+∆x); ∆y=log_a(x+∆x)-log_ax=. Помножим и разделим на x выражение, состоящее в правой части последнего равенства . Обозначим величину через α. Очевидно, при и данном x. Следовательно, , но как известно . Если же выражение, стоящее под знаком логарифма, стремится к числе e, то логарифм этого выражения стремится к log_ae (в силу непрерывности логарифмической функции). Поэтому окончательно получаем: . Заметив, что , полученную формулу можно переписать так: .