
- •Тема 3 Методы решения нелинейных и трансцендентных уравнений
- •6 Этапы решения нелинейных и трансцендентных уравнений
- •Постановка задачи
- •Графическое решение уравнений
- •Метод половинного деления (дихотомии)
- •7 Метод итераций, хорд, метод Ньютона (касательных)
- •Метод хорд
- •5 Этапы решения нелинейных и трансцендентных уравнений (Подготовка к практическому занятию № 6, 2 часа)
- •6 Метод итераций, хорд, метод Ньютона (касательных) (Подготовка к практическому занятию № 7, 2 часа)
5 Этапы решения нелинейных и трансцендентных уравнений (Подготовка к практическому занятию № 6, 2 часа)
Перед соответствующим практическим занятием по материалам, приведённым в литературных источниках, а также соответствующей лекции, повторите понятия корня уравнения, изолированного, простого и кратного корней; этапы решения нелинейных и трансцендентных уравнений, графический метод нахождения корней уравнения, их уточнение; метод половинного деления, его скорость сходимости; критерии окончания процесса вычисления корня, окончания процесса и количество требуемых итераций.
Рассмотрим решение типичных задач на указанную тему.
№ 1. Отделить
корни графически и уточнить один из них
методом проб с точностью до 0,01:
Решение.
Переписываем уравнение в виде
Обозначим
построим графики функций (рисунок 1).
Рисунок 1 – Графики функций
Очевидно, что уравнение имеет один корень х1 = –0,8.
Чтобы уточнить
корень методом проб, выберем промежуток,
на концах которого функция
имеет разные знаки.
Составим таблицу знаков функции f(x) (таблица 4),
Таблица 4 - Знаки функции f(x)
Для удобства расчётов перейдём к десятичным логарифмам.
Производим вычисления в таблице 5.
Таблица 5 – Вычисление корня функции f(x)
Ответ: х -0,73.
6 Метод итераций, хорд, метод Ньютона (касательных) (Подготовка к практическому занятию № 7, 2 часа)
Перед соответствующим практическим занятием по материалам, приведённым в литературных источниках, а также соответствующей лекции, повторите понятия и основные факты теории по решению уравнений методами: простой итерации, хорд, Ньютона (касательных), комбинированным; выясните геометрический смысл указанных методов, условия их сходимости, критерий окончания итераций.
Рассмотрим решение типичных задач на указанную тему.
№ 1. Отделить
корни аналитически и уточнить один из
них методом хорд с точностью до 0,001:
Решение. Отделим корни аналитически. Находим
Составим таблицу знаков функции f(x) (таблица 6):
Таблица 6 – Знаки функции f(x)
Уравнение имеет один действительный корень, лежащий в промежутке [-1,0].
Чтобы
уточнить корень, находим вторую
производную
в промежутке [–1, 0] выполняется
неравенство f
"(х)
< 0.
Для вычислений применяем формулу
где а = –1; х0 = 0; f(а) = f(–1)= -1-0,2-0,5 + 1,5 = -0,2.
Вычисления располагаем в таблице (таблица 7).
Таблица 7 – Вычисление корня функции f(x)
Ответ: х -0,946.
№ 2. Отделить корни графически и уточнить один из них методом касательных с точностью до 0,001.
.
Решение. Корни для заданной функции уже отделены в метод.указаниях к практическим работам (№ 1) и установили, что он заключен в промежутке [0,6; 0,8]. Уточним этот корень методом касательных. Так как f(0,6) >0, f(0,8) <0, то за начальное приближение примем хо = 0,8.
Вычисления производим по формуле
Предварительно найдем
Составим таблицу (таблица 8).
Таблица 8 – Итерации для функций
Ответ: х 0,750.
№ 3. Комбинированным методом хорд и касательных решить уравнение третьей степени, вычислив корни с точностью до 0,001.
.
Решение. Корни для заданной функции отделим аналитически.
Составим таблицу знаков функции f(x) (таблица 9).
Таблица 9 – Знаки функции f(x)
Очевидно, что уравнение имеет три действительных корня:
Уменьшим промежутки, содержащие корни, до 1 (таблица 10).
Таблица 10 – Знаки функции f(x)
Значит,
Уточним
один из корней:
При -2 х -1 имеем f"(x)<0. Для расчётов применим формулы
где
и
– значения корня соответственно по
недостатку и избытку. Полагаем хо
= –2,
.
Все вычисления производим в таблице (таблица 11), обозначив
Таблица 11 – Итерации для заданной функции
Ответ: х1 –1,935.
Замечание. Остальные корни в приведённом выше примере находятся аналогично.
№ 4. Отделив корни уравнения аналитически, уточнить один из них методом итерации с точностью до 0,001.
Решение. Корни для заданной функции отделим аналитически.
Составим таблицу знаков функции (таблица 12).
Таблица 12 – Знаки функции f(x)
Очевидно, что
уравнение имеет единственный корень,
лежащий в промежутке [-1, 0]. Приведём
уравнение к виду х = (х)
так, чтобы
при -1 х
0. Т.к.
то можно взять k = 10.
Тогда
Пусть хо = 0, тогда хn+1 = (хn). Вычисления располагаем в таблице (таблица 13).
Таблица 13 – Итерации для заданной функции
Ответ: х -0,38.