Ответы на экзаменационные билеты_2 / Вопрос№63

№63.Применение дифференциала к приближённым вычислениям.

Пусть ф-ия y=f(x), x[a;b] дифференцируема на [a;b]. Это значит, что существует f’(x)=lim_X0 x/yx/y=f’(x)+, где 0 при х0; y=f’(x)х+х. Т.к. в общем случае f’(x)0, то при постоянном х и переменном х0 первое слагаемое в правой части равенства y=f’(x)х+х есть бесконечно малая величина того же порядка, что и х. А второе слагаемое есть б.м.в. более высокого порядка чем х, т.к. lim_X0 x/х=lim_X0 =0. Таким образом приращение ф-ии у состоит из двух слагаемых, из которых первое при f’(x)0, есть главная часть приращения, линейная относительно х. Это слагаемое f’(x)х наз. дифференциалом функции и обозначают dy=f’(x)x. По опрнделению полагают, что дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной. Это определение оправдано т.к. у=х, dy=dx=1 х; dx=хdy=f’(x)х. Отсюда можно выразить f’(x)=dy/dx, т.е. производную можно представить как отношение дифференциала ф-ии к дифференциалу аргумента. Таким образом из y=f’(x)х+х следует y=dy+х, т.е. приращение ф-ии отличается от её дифференциала на б.м.в. более высокого порядка чем х, кроме того х при f’(x)0 является б.м.в. более высокого порядка чем dy и lim_X0 y/dy=lim_X0 (dy+x)/dy=lim_X0 1+x/dy=1+ lim_X0 x/f’(x)x=1+0=1. Поэтому в приближённых вычислениях пользуются равенством уdy, f(x+x)–f(x)f’(x)x, f(x+x)f(x)+f’(x)x.