Ответы на экзаменационные билеты_2 / Вопрос№71

№71.Максимум и минимум ф-ции. Необходимый признак существования экстремума ф-ции, его недостаточность.

Опр.Т. х0-назыв. т.max ф-ции y=f(x)если для любых ∆х достаточно малых по модулю f(x0+∆x)<f(x0) Т. х0-назыв. т.min ф-ции y=f(x)если для любых ∆х достаточно малых по модулю f(x0+∆x)>f(x0) Ф-ция опред. На [ab] может иметь мax и min лишь во внутр.точках этого отр. Необходимое условие экстремума.Если диффер.ф-ция y=f(x) в т.х0 имеет max min,тоf’(x)=0Док-во.Пусть х0-точка max ф-ции y=f(x).Тогда для любых ∆х,достаточно малых по модулю f(x+∆x)-f(x)<0 => f(x0+∆x)-f(x0)/∆x>0,при ∆x<0; f(x0+∆x)-f(x0)/∆x<0,при ∆x>0 По опр.f’(x)=lim(∆x0) f(x0+∆x)-f(x0)/∆x Причём lim не зависит от того,каким способом ∆x0 Если∆x0, ∆x<0 =>f’(x0)≥0; ∆x0, ∆x>0 =>f’(x0)≤0 оба эти нер-ва возможны одновременно при f’(x0)=0.Доказано Аналогично для случая ,когда х0-точка min.Геометр.смысл.касательная к дифф. Кривой в т.max(min) параллельна оси Ох