Ответы на экзаменационные билеты_2 / Вопрос№42

№42.Бесконечно большие ф-ции,их связь с бесконечно малыми.

Опр.ф-ция f(x)назыв.бесконечно большой(б.б.) при ха (т.е.∞ при ха), если для любого числа М>0, сущ.число δ>0 для всех х удовл.нер-ву 0<|x-a|<δ будет выполняться |f(x)|>M,т.е. lim_xaf(x)=∞,если M>0 сущ.δ>0, такое что х; 0|х-а|<δ;|f(x)|>М.(см.рис.1.). В этом случае пишут lim_xaf(x)=∞ или f(x)∞ при ха. если ф-ция f(x) явл.б.б. и при этом сохраняется только “+” или только “—”,знач.,то в этом случае пишут lim_xaf(x)=+∞ или lim_xaf(x)=-∞. Докажем: lim_x1 1/(1-x)²=+∞. Берём любое число M>0 и рассм.|f(x)|=+∞, |f(x)|>M; 1/(1-x)²>M; (1-x)²<1/M; |1-х|<√1/М=δ=>что в качестве δ можно взять √1/М. Для любого х, отличного от 1 наша ф-ции будет>0,т.е.ф-ция f(x)-б.б. и f(x)>0=>предел нашей ф-ции=+∞,т.е. х≠1 1/(1-х²)>0=>f(x)-б.б.в. и f(x)>0 =>lim_x1f(x)=+∞. Если ф-ция f(x)∞ при х∞, то пришут:lim_x∞f(x)=∞. Пример. lim_x∞х²=+∞; lim_x-∞х³=-∞; Замечания:ф-ция y=f(x) при ха ил при х∞ может не стремится ни к конечному, ни к бесконечному пределу. 1)y=sinx,xR при х∞ y=sinx не имеет предела. 2)ф-ция y=sin1/x, x≠0 при х0 не имеет предела. Опр.ф-ции y=f(x) назыв.ограниченной в нек-ой области изменения х если сущ.число M>0, такое что для всех х из этой области |f(x)|≤M. y=sinx-ограничена, т.к. |sinx|≤1=M. Опр:ф-ция y=f(x) назыв.ограниченной при ха если существуют окрестность с центром в точке А, в кот-ой ф-ция f(x) явл.ограниченной. Опр.ф-ция y=f(x) назыв.ограниченной при х∞, если сущ.число N>0, такое что для всех |х|>N ф-ция ограничена. Теорема: если lim_хaf(x)=b, где b-конечное число, то f(x) ограничена при ха. Док-во.из равенства lim_хaf(x)=b=>для любого >0 сущ.δ>0, такое что для всех х, удовлетворяющих нер-ву 0<|х-а|<δ будет выполняться нер-во |f(x)-b|<,т.е. в заданной δ окрестности точки а. |f(x)|-|b|≤|f(x)-b|<; |f(x)|-|b|≤; |f(x)|<+|b|=>ф-ция f(х) ограничена в δ окрестности точки а. Замечание:из определения ограниченной ф-ции следует, что если ф-ция f(x) явл.б.б. (т.е.если lim_xaf(x)=∞ или lim_x∞f(x)=∞), то она не является ограниченной. Обратное не верно: неограниченная ф-ция может и не быть б.б. Пример.y=xsinx,xR-неограниченная,т.к. для любого М>0 найдётся х |хsinx|>M,но эта ф-ция не явл.б.б.,т.к.y=0 при х=0,,2…