Ответы на экзаменационные билеты_2 / Вопрос№16

№16.Смешанное произведение векторов и его свойства.

Умножим вектора аb, а затем полученный вектор u скалярно умножим на вектор с, тогда получим число, которое наз. смешанным произведением a,b,c: (ab)c-число; a={a₁+a₂+a₃}; b={b₁+b₂+b₃}; c={c₁+c₂+c₃}; u={u₁+u₂+u₃}; (ab)c=uc= u₁c₁+u₂c₂+u₃c₃=(*). Св-ва: 1)От перестановки двух сомножителей смешанное произведение меняет знак, сохраняя абсолютную величину(т.к. при этом меняются две строки определителя); 2)Операции скалярного и векторного умножений в смешанном произведении можно поменять местами т.к. по св-ву (1) (ab)c=-(cb)a=(bc)a=a(bc), поэтому смешанное произведение часто записывают abc, опустив скобки и знаки действий, т.к. безразлично какие два рядом стоящих вектора перемножаются векторно, а какие скалярно. Выясним геометрический смысл смешанного произведения. Пусть OA=a, OB=b, OC=c–некомпланарны(правая связка)(рис.1). Т.к. векторы a,b,c-правая связка, то вектор u будет направлен в ту же сторону, что и с. V_п=S_ABCD H=|(ab)|пр_uc=|u|пр_uc=uc=(ab)c. Таким образом V_п=(ab)c причём «+» берётся если a,b,c-правая связка, и «-» если левая. V_п=|(ab)c|; V_пир=1/6|(ab)c| (рис.2). 1)Пусть a,b,c-компланарны, или какие-то два из трёх векторов коллинеарны: a||bu=ab=0; 2)Или с лежит в плоскости двух других векторов а и b, т.е. проекция вектора с на вектор u пр_uc=0. Но и в том и в другом случае имеем, что смешанное произведение a,b и c будет равно (ab)c=|u|пр_uc=0. Обратно: (ab)c=0ab=0 или пр_uc=0. a,b,c - компланарны(ab)c=0 или (*1).