Ответы на экзаменационные билеты_2 / Вопрос№57

№57. Производная степенной и показательной функций.

Производная от (показательная функция) функции a^x, где а > 0, равна a^xlna, т.е. y=a^x, равна y’=a^xlna. Логарифмируя равенство y=a^x, получим: lny=xlna или y’=a^xlna. Если оснавание а=е, то lne=1 и мы получим y=e^x, y’=e^x. Производная от (степенная функция) xⁿ, где n – любое действительное число, равна nx^n-1. Пусть x > 0. Логарифмируя данную функцию, будем иметь: lny=nlnx. Дифференцируем обе части полученного равенства по х, считая у функцией от х: Подставляя сюда значение y=xⁿ, окончательно получаем: y’=nx^n-1. Эта формула верна и для x < 0, если только xⁿ имеет смысл.