Ответы на экзаменационные билеты_2 / Вопрос№54

№54.Теорема о непрерывности дифференцируемой ф-ции. Пример непрерывной, но недифференцируемой ф-ции.

Если ф-ция у=f(х) имеет производную в точке х= x_o, т.е. если сущ. предел отношения lim_∆х0^∆у/_∆х= lim_∆х0^{f(x+∆x)-f(x)}/_∆х, то ф-ция у=f(х) называется дифференцируемой в точке х_о. Теорема: если ф-ция у=f(х) дифференцируема в точке х= x_o,то она непрерывна в точке х_о. Док-во: по усл. lim_∆х0^∆у/_∆х=f'(x_о)=> ^∆у/_∆х=f'(x_о)+α(∆х), где f'(x_о)0 при ∆х0=>∆у=f'(x_о)*∆х+α(∆х)*∆х=>,что если ∆х0, то ∆у0. А это по опр.означает, что ф-ция у=f(x) непрерывна в точке х_о. Обратное утверждение не верно, т.е. если ф-ция непрерывна в точке х_о, то отсюда не следует, что она дифференцируема в этой точке. Пусть f(x)={x,0≤x≤1; 2x-1, 1≤x≤2. Эта ф-ция при х=1 не имеет производной, хотя и непрерывна в этой точке. Пусть ∆х>0. lim_∆х0^∆у/_∆х=lim_∆х0^{f(1+∆x)-f(1)}/_∆х= lim_∆х0^{2(1+∆x)-1-1)}/_∆х= lim_∆х0^2∆x/_∆х=2.(см.рис.1.). Пусть ∆х<0. lim_∆х0^∆у/_∆х=lim_∆х0^{f(1+∆x)-f(1)}/_∆х= lim_∆х0^1+∆x-1)/_∆х= lim_∆х0^∆x/_∆х=1, т.е. рассматриваемый предел зависит от того каков знак ∆х. А это означает, что в точке х=1 ф-ция f(x) производной не имеет. С другой стороны эта ф-ция непрерывна в точке х=1. Если ∆х>0,то ∆у=2∆х, а если ∆х<0,то ∆у=∆х=>при ∆х0, ∆у0, т.е. у=f(x) непрерывна в х=1. из теоремы следует, что в точках разрыва ф-ция не может иметь производной. Примеры вычисления производной.: 1)степенная ф-ция у=х^α,αR,x>0. Дадим аргументу х приращение ∆х и получим х+∆х. ∆у=у(х+∆х)-у(х)=(х+∆х)^α-х^α=х^α(1+^∆х/_х)^α-х^α= х^α((1+^∆х/_х)^α-1). у'=lim_∆х0^∆у/_∆х=lim_∆х0(х^α(1+^∆х/_х)^α-1)/_∆х= х^αlim_∆х0^α*∆х/х/_∆х= х^αlim_∆х0^α/_х=α*х^α-1. (х^α)'=α*х^α-1.-эта формула верна для любого х из области опр.ф-ции. (х)'=1(α=1); (¹/_х)'=-¹/х²(α=-1); (√х)'=¹/_2√х(α=½). (ост.примеры см.на др.стороне.).