Ответы на экзаменационные билеты_2 / Вопрос№66

№66.Теорема Лагранжа.

Пусть на отрезке [a,b] определена f(x), причем: f(x) непр. на [a,b]; f(x) диф. на [a,b]. Тогда $ т-ка cÎ(a,b) такая, что справедлива ф-ла (f(b)-f(a))/b-a= f‘(c).Док-во сводится к сведению к т-ме Ролля. Обазначим (f(b)-f(a))/b-a=λ,и рассмотрим вспомогательную ф-циюF(x)=f(x)-f(a)-λ(x-a)Выясним её геометр.смысл.(рис1)для этого запишем ур-е хордыAB,где А(а;f(a)),B(b;f(b))AB:x-a/b-a=y-f(a)/f(b)-f(a); y=f(a)+λ(x-a)Ф-ция y=F(x)для каждого значения x равна разности ординат точек кривой и хорды,для точек с одинаковой абцис.х.Ф-ция F(x) непрерывна на [a,b] Дифференц. на (a,b) ) F(a)=F(b)=0 Все усл. Ролля соблюдены, поэтому $ т-ка С на (a,b) F‘(c)=0 F‘(c)=f‘(c)-λ f‘(c)=λ f‘(c)= (f(b)-f(a))/b-a Доказано. Геометр.смысл теоремы(рис1)1.(f(b)-f(a))/b-a=tgαГде α-угол наклона хорды к оси Ох 2. f‘(c)-есть tg угла наклона касат.к граф. ф-ции y=f(x) в т.с абцис.х=с.Из (1)и(2)следует,что если кас. сущ. во всех точках дугиAB,то на этой дуге найдётся точка в которой кас.параллельна хордеAB Замечание т.к. c>a,c<b то с=a +θ(b-a),0<θ<И тогда(f(b)-f(a))/b-a=f’(a+θ(b-a)).