Ответы на экзаменационные билеты_2 / Вопрос№65

№65.Теорема Ролля.

Если ф-ция f(x) непрерывна на отр.[аб],дифференцируема во всех внутр.точках этого отр.и на концах x=a,x=b обращается в0 [f(a)=f(b)=0],то существ.внутри отр.[ab]по крайней мере одна точка x=c,a<c<b,в которой производная f'(x) обращ. в0,т.е. f’(c)=0. Док-во.Т.к ф-ция f(x) непрерывна, то она достигает своего наименьшего и наибольш. значения.Возможны 2 случая:1)M=m,т.е.f(x)=const,для любогоx~[ab] f’(x)=0.Поэтому в качестве точки с,о которой говорится в теореме,можно взять любую т.из[ab]2)M<>m,тогда одно из этих чисел отлично от0,предположим для определенности,чтоM>0 и что наиб.знач.ф-ция приним.в т.с f(c)=M,c<>a,c<>b, т.к.f(a)=f(b)=0 Т.к.f(c)-наибольш.знач.(f(c+^x)-f(c))/^x=>0при ^x<0; .(f(c+^x)-f(c))/^x<=0при ^x>0.Перейдём в этих неравенств.к пределу пhи ^x0 Lim(^x0) .(f(c+^x)-f(c))/^x=f”(c)<=0 при ^x>0; Lim(^x0) .(f(c+^x)-f(c))/^x=f”(c)=> 0 при ^x<0 одновремено эти нер-ва могут выполняться когда f”(c)=0,следовательно существ.c~(ab),такое.что f”(c)=0Доказано. Замечания.1.теорема остаётся в силе,если в условии f(a)=f(b)2.Если производн.ф-ции сущ.не во всех точках(аб),то утвержд.теор.может быть неверно.