Ответы на экзаменационные билеты_2 / Вопрос№39

№39.Бесконечно малые (б.м.) и их свойства.

Опр:ф-ция y=(x) назыв.б.м. при ха, если lim_ха(x)=0. Основные св-ва. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых ф-ций есть бесконечно малая ф-ция. 1)пусть U(x)= (x)+(x), где lim_ха(x)=0 и lim_ха(x)=0,т.е.нам надо доказать, что для любого >0 сущ.число δ>0, такое что для всех х удовл.нер-ву 0<|х-а|<δ будет выполнится нер-во |U(x)-0|< или |U(x)|<. Докажем: т.к. lim_ха(x)=0=>то по определению это значит,что для любого >0 сущ.δ₁-окрестность точки а, в кот-ой выполняется нер-во |(х)|</2. Т.к. lim_ха(x)=0,то для выбранного  сущ.δ₂-окрестность точки а, в кот-ой выполняется нер-во |(х)|</2. Обозн.через δ наименьшее из чисел δ₁ и δ₂. δ=min|δ₁,δ₂|, тогда в δ окрестности точки “а” будет выполнятся нер-во: |U(x)|=|(x)+(x)|≤|(x)|+|(x)|</2+/2=, т.е.|U(x)|<=>lim_xaU(x)=0,т.е.U(x)-бесконечно малая ф-ция. Аналогичное док-во для случая когда lim_ха(x)=0 и lim_ха(x)=0. 2)Произведение б.м.ф-ции при ха (или х∞). На ограниченную ф-цию есть б.м.ф-ция. Пусть lim_ха(x)=0=>,что для любого >0 сущ.δ₁-окрестность точки а, в кот-ой выполняется нер-во |(х)|</М,где M>0. y=f(x)-ограниченная, то по определению это означает, что сущ.такое δ₂-окрестность точки а, в кот-ой выполняется нер-во |f(x)|<M,M>0. Обозн.через δ наименьшие из чисел δ₁,δ₂,тогда в δ-окрестности точки “а” будет выполняться нер-во: |(x)*f(x)|=|(x)|*|f(x)|<M/M=>(x)*f(x)-бесконечно малая величина. 3)(x)/f(x)-бесконечно малая ф-ция (х) и ф-ция lim_хаf(x)=b≠0-есть бесконечно малая ф-ция. Дейст-но пусть lim_ха(x)=0,а lim_хаf(x)=b≠0=>1/f(x)-ограниченная ф-ция, а отсюда следует, что (x)/f(x)=(х)*1/f(x)=беск.алая ф-ция. 4)произведение любого конечного числа бесконечно малое есть б.м. 5)произвед.б.м.ф.на const.есть б.м.ф. 6)если (х)-б.м.в. при ха (или х∞), то 1/(x)-б.б.в.при ха (или х∞). 7)если при lim_хаf(x)=b, то f(x)=b+(x),где lim_ха(x)=0.