Ответы на экзаменационные билеты_2 / Вопрос№15

№15.Векторное произведение векторов, его свойства и геометрический смысл.

Векторным произведением ab наз. вектор с, такой что: 1)|c|=|ab|=|a||b|sin, =(a^b) т.е. модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, натянутого на вектора a и b(рис.1); 2) ca, cb; 3)a,b,c - правая связка; Св-ва: 1)ab= -ba; 3)manb=(mn)ab; 3)(a+b)c=ac+bc; 4)a||b, sin=0ab=0; Обратно: ab=0, a0, b0a||b; a||bab=0; 5)ii=jj=kk=0; ij=k, jk=i, ki=j, ji=-k, kj=-i, ik=-j(рис.2). Векторное произведение двух смежных даёт следующий со знаком «+». Если идти в обратном направлении, то со знаком «-». Пусть a={a₁+a₂+a₃}=a₁i+a₂j+a₃k; b={b₁+b₂+b₃}=b₁i+b₂j+b₃k; ab= (a₁i+a₂j+a₃k) (b₁i+b₂j+b₃k)= a₁b₁ii+a₁b₂jj+a₁b₃ik +a₂b₁ij+a₂b₂jj+a₂b₃jk+ a₃b₁ki+a₃b₂kj+a₃b₃kk =a₁b₂k-a₁b₃j- a₂b₁k+a₂b₃i+a₃b₁j-a₃b₂i =i(a₂b₃-a₃b₂)-j(a₁b₃-a₃b₁)+k(a₁b₂-a₂b₁)=(*)=xi+yj+zk, где x=(*1), y=(*2), z=(*3). Из определения векторного произведения следует, что площадь парал-ма, построенного на векторах а и b: S=|ab|; а площадь треугольника: S=1/2|ab|.