Ответы на экзаменационные билеты_2 / Вопрос№48

№48. Сравнение бесконечно малых.

Пусть lim_xaα(x)=0, lim_xaβ(x)=0. Найдём lim_xa^α(x)/_β(x)=[⁰/₀]. 1)опр.1.если предел отношения ^α(x)/_β(x) при xa равен С, где С=const отличное от нуля то α(x) и β(x) называются бесконечно малыми одного и того же порядка, т.е. lim_xa^α(x)/_β(x)=С, С=сonst, С=0; 2)опр.2. Если предел α(х), β(x) при xa=0, то α(х) называется бесконечно малой величиной более высокого порядка или β(x), т.е. lim_xa^α(x)/_β(x)=0; α(х)=0 (β(х)). α(х)–есть 0-мало от β(x). 3)опр.3. Если lim_xa^α(x)/_β(x)=1=>назыв. эквивалентными бесконечно малыми.=> α(х)~β(x). 4)опр.4. Если lim_xa^α(x)/[β(x)]^k=const, где С≠0, то α(х) называется бесконечно малой величиной порядка k относительно β(x). 5)Опр.5. Если lim_xa^α(x)/_β(x)-не сущ., то α(х) и β(x) называются несравнимыми б.м.в. Примеры№1: (см.на др.стороне). Теорема 1: Если α(х) и β(x) –эквивалентные б.м.в. при xa, то α–β – есть б.м.в. более высокого порядка чем α или β. lim_xa^α-β/_α=0; lim_xa^α-β/_β=0. Док-во: пусть α(х) эквивалентно β(x) при xa=> lim_xa^α(x)/_β(x)=1= ^β(x)/_α(x)=1. Рассм. lim_xa^α-β/_α= lim_xa(1-^β/_α)=1-lim_xa ^β/_α=1-1=0=> α–β=0(α). lim_xa ^α-β/_β= lim_xa(^α/_β-1)= lim_xa^α/_β -1=1-1=0=> α–β=0(β). Теорема 2,обратной 1. Если разность 2-х б.м.в. α(х)-β(x) при xa есть б.м.в. и относит. α(х) и β(x), то α и β – есть эквивалентные б.м.в.,т.е. α(х)-β(x)=0 (α(х))=>α(х)~β(x) и α(х)-β(x)=0 (β(х))=>α(х)~β(x). Док-во: т.к. α(х)-β(x)=0(α(х))=> lim_xa(^{α(х)-β(х)}/_α(х))=0=> lim_xa(1-^β/_α)=0=> lim_xa 1- lim_xa^β/_α=0 или lim_xa^β/_α=1=>α(х)~β(x). α(х)-β(x)=0 (β(х))= lim_xa ^α-β/_β=0=> lim_xa (^α/_β-1)=0=> lim_xa ^α/_β=1=> α(х)~β(x). (Примеры№2 см.надр.стороне).