Ответы на экзаменационные билеты_2 / Вопрос№68

№68.Теорема Лопиталя.

Пусть ф-ция f(x) и g(x) на некотором отр [ab] удовл.усл.теор.Коши f(a)=g(a)=0.Тогда если сущ. lim(x®a)f‘(x)/g‘(x)=k,то сущ. lim(x®a)f(x)/g(x)=k Т.е.lim(x®a)f(x)/g(x)= lim(x®a)f‘(x)/g‘(x)(но при условии что предел справа сущ.)Док-во Возьмём на[ab] точку х¹а.И применим к отр. [ab] теорему Коши.Получим f(x)-f(a)/g(x)-g(a)=f’(θ)/g’(θ),где a<θ<x f(x)/g(x)= f’(θ)/g’(θ) Если x®a,то θ®a Перейдем к lim при x®a,получим lim(x®a)f(x)/g(x)=lim (x®a) f’(θ)/g’(θ)= lim (θ®a) f’(θ)/g’(θ)= lim(x®a)f‘(x)/g‘(x) Доказано.Замечания.Теорема справедлива в том случае,если f(x) и g(x)неопред.в т.(а),но lim(x®a)f(x)= lim(x®a)g(x)=0 2.Если lim(x®a)f‘(x)/g‘(x)=0/0 и ф-ция удовл. Всем усл.теор.,то правило Лопиталя можно применять ещё раз.3.Теорема справедлива если lim(x®∞)f(x)= lim(x®∞)g(x)=0 Раскрытие 0/0. 1-е правило Лопиталя. Если lim(x®a)f(x)= lim(x®a)g(x), то lim(x®a)f(x)/g(x)= lim(x®a)f‘(x)/g‘(x), когда предел $ конечный или бесконечный. Раскрытие ¥/¥. Второе правило. Если lim(x®a)f(x)= lim(x®a)g(x)=¥, то lim(x®a)f(x)/g(x)= lim(x®a)f‘(x)/g‘(x). Правила верны тогда, когда x®¥,x®-¥,x®+¥,x®a-,x®a+.