Ответы на экзаменационные билеты_2 / Вопрос№43

№43.Свойства функций, имеющих конечный предел.

Пусть xa или x∞. Теорема 1:предел алгебраической суммы конечного числа переменных=сумме пределов этих переменных,т.е. lim(U₁+U₂+…+U_n)=limU₁+limU₂+…+limU_n.Док-во: пусть предел U=а и пусть limV=b, тогда по св-ву 7(теорема о связи) имеем U=a+ и V=b+-бесконечно малые величины. Рассм.переменную величину: U+V=(a+)+(b+)=(a+b)+(+)=>а это по теореме по связи означает: lim(U+V)=(a+b)=limU+limV. Пример:lim_x∞(x²+2x)/x²=[∞/∞] =lim_x∞(1+²/_x)= lim_x∞1+lim_x∞²/_x =1+0=1. Теорема 2: предел произведения конечного числа переменных=произвед.пределов этих переменных,т.е. lim(U₁*U₂*…*U_n)=limU₁*limU₂*…*limU_n. Док-во:пусть limU=а=>по св-ву(7) U=a+,где -б.м.в.; limV=b=>по св-ву(7) V=b+,где -б.м.в. Рассм. U*V=(a+)*(b+)=ab+a+b+= число+б.м.в.+б.м.в.+б.м.в.,т.е. переменную величину U,V мы смогли представить в виде суммы нек-го числа аb и б.м.в., а это по теореме о связи означает, что lim(U*V)=a*b=limU*limV, теорема доказана. Следствие: постоянный множитель можно выносить за знак предела. Пусть limU=a, a c=const=>limC=C. Рассм. lim(C*U)=limC*limU=C*limU=C*a. Пример: lim_xx^lim_xx^=*8=40. Теорема 3: предел частного 2-х ф-ций =частному пределов этих переменных если предел знаменателя отличен от 0,т.е. lim(U/V)=limU/limV,где limV≠0. Док-во: пусть limU=а=> U=a+,где -б.м.в.; limV=b=> V=b+,где -б.м.в. Рассм. U/V=(a+)/(b+)=a/b+((a+)/(b+)-a/b)=a/b+((ab+b-ab-a)/b(b+)) =a/b+((b-a)/ b(b+))-(б.м.в.)=>lim(U/V)=a/b=limU/limV-ч.т.д. Пример: 1),2),3)-(см.№1на др.стороне). Теорема 4: если между соответствующими значениями 3-х ф-ций: U(x), Z(x),V(x) выполняется нер-во U≤Z≤V и при этом ф-ции U и Vк одному и тому же limb при хa или x∞, то и ф-ция Z при хa или x∞ будет стремится к тому же самому limb. Док-во: пусть хa. По усл: U≤Z≤V, тогда из этого нер-ва =>U-b≤Z-b≤V-b. По усл: lim_хaU=b=>(по опр.) это означает, что для любого ε>0 cущ.окрестность точки а в кот-ой будет выполняться нер-во |U-b|<ε. Или –ε<U-b<ε (1). По усл: lim_хaV=b=> для выбранного ε сущ.окрестность точки а в кот-ой выполняется нер-во: |V-b|<ε. –ε<V-b<ε (2), тогда в меньшей из этих 2-х окрестностей будут выполняться оба нер-ва (1) и (2). (см.№2 на др. стороне). Теорема 5: если при хa или x∞ ф-ция y принимает неотрицат.знач-ия а имеет своим пределом число b, то b≥0,т.е. y≥0, lim_{хaилиx∞}y=b=>b≥0. Док-во: предположим противное: пусть b<0, тогда |y-b| будет ≥|b|,т.е. модуль разности |y-b| больше положительного числа модуль |b|,т.е. модуль разности не стремится к 0 при хa или x∞=> число b не может быть пределом ф-ции y, что подтверждает условие=>наше предположение не верно и b≥0. Аналогично доказывается: y≤0, lim_{хaилиx∞}y=b=>b≤0. Теорема 6: если между соответствующими знач-ми 2-х ф-ций U и V выполняется нер-во U(x)≤V(x), то limU≤limV при хa или x∞. Док-во: по усл: V-U≥0. Рассм. lim(U-V)≥0, но limV-limU≥0=>limV≥limU.ч.т.д.