Ответы на экзаменационные билеты_2 / Вопрос№74

№74.Выпуклость и вогнутость графика ф-ции, необходимые и достаточные условия.

Опр.говорят что кривая y=f(x)обращена выпуклостью вверх на инт.(аб)если в любой точке этого инт. Она лежит не выше любой её касательной на (аб)(рис2) –выпуклая говорят что кривая y=f(x)обращена выпуклостью вниз на инт.(аб)если в любой точке этого инт. Она лежит не ниже любой её касательной на (аб)(рис3)-вогнутая Теорема. (достаточн. признак) Если во всех точках(аб) f’’(x)<0,то кривая y=f(x)выпукла на (аб)Док-воПусть точка х0 принадлеж.(ab)(рис.4)Рассмотрим кас. к граф. ф-ции в т.х=х0Для док-ва теоремы достаточно показать что на(аб)кривая лежит ниже касательной при одном и том же значении аргумента y(кас)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)и рассм.разность y(кр)-y(кас)=f(x)- f(x0)-f’(x0)(x-x0)Имеем y(кр)-y(кас)= f’(с)(x-x0)- f’(х0)(x-x0) где т.x<c<x0Применим к разности f’(с)- f’(х0)ещё раз т.Лагранжа Получим y(кр)-y(кас)=f’’(c1)(c-x0)(x-x0)Возможны 2 случая1)x>x0 => y(кр)<y(кас) 2) x<x0 => y(кр)<y(кас)Т.е.любая точка кривой лежит ниже касат.кривой на (аб),т.е.кривая выпукла. Аналогично для вогнутой