Ответы на экзаменационные билеты_2 / Вопрос№52

№52. Определение производной, её механический и геометрический смысл. Уравнение касательной к нормали к графику ф-ции.

Пусть у=f(x) определена в некотором промежутке X. (см.рис.1.). Дадим аргументу х нек-ое приращение ∆х, получим новое значение аргумента х+∆х. Точка х+∆хХ. Тогда значение ф-ции получит приращение ∆у=f(х+∆х)-f(x). lim_∆х0^∆у/_∆х= lim_∆х0^{f(x+∆x)-f(x)}/_∆х. Опр: если, существует предел отношения приращения ф-ции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента0, то этот предел называется производной ф-ции в данной точке и обозначается f'(x), т.е. f'(x)= lim_∆х0^{f(x+∆x)-f(x)}/_∆х.-опр.произв. Обозн.у';у'_х;f'(х);^dy/_dx. у'(а);у'|_х=а-знач.произв. в х=а. Операция нахождения произв.ф-ции в точке назыв. дифференцируемой. Пользуясь опр.найти произв.(см.№2 на др.стороне). Выясним.геом.смысл.произв.(см.рис.2.). Если М₁ не ограничена по кривой, приближается у точке М, то секущая (М;М₁) принимает различные положения. Если при не ограниченном приближении точки М₁ по кривой точки М с любой стороны секущая стремится занять положение определённой прямой МТ, то прямая МТ назыв.касат. прямой к точке М. (см.рис.3.). Рассм. у=f(x). Пусть точка М₀ имеет корд. (х_о;f(x_o)). Если аргументу х_о придать приращение ∆х, то на графики ф-ции получим точку М(х_о+∆х;f(x_o+∆х)). Проведём секущую М₀М и обозн. угол между положит.оси Ох и секущей. tgφ=^∆у/_∆х. Если теперь устремить точку М по кривой к М₀, то секущая М₀М будет вращаться вокруг точки М₀. И угол φ будет изменяться при изменении ∆х. Если при ∆х0 угол φ будет стремится к некоторому пределу α, то прямая проходящая через точку М₀ и образующая с положительным направлением оси Ох угол α будет искомой касательной. Найдём её угловой коэффициент tgα. tgα=lim_∆х0tgα=lim_∆х0^∆у/_∆х=у'(x), у'(х)=tgα., т.е. значение производной у'(х) при данном значении аргумента х равен тангенсу угла, образованного касательной к графику ф-ции в данной точке с положительным напр.оси Ох. (пример№2.см.на.др.стороне.).