Ответы на экзаменационные билеты_2 / Вопрос№47
.doc№47. Второй замечательный предел и его следствия.
Рассмотрим переменную величину: (1+1/n)n;nN. Теорема 1: предел переменной величины (1+1/n)n заключён между числами 2 и 3 при n∞, т.е. 2≤limn∞(1+1/n)n ≤3. Док-во: по формуле Бинома-Ньютона имеем, что (1+1/n)n=С0n*1n*(1/n)0+C1n*1n-1*(1/n)1+C2n* 1n-2*(1/n)2+C3n*1n-3*(1/n)3+…+Cnn*10*(1/n)n=(≡) где Сmn=n!/m!(n-m)!, где n!=1*2*3*…*n- это произвед-е первых n натуральных чисел. =(≡)=n!/0!n!*1+n!/1!(n-1)!*1/n+n!/2!(n-2)!*1/n2+n!/3!(n-3)!*1/n3+…+n!/n!0!*1/nn=1+1+n(n-1)/1*2*1/n2+(n(n-1)(n-2))/1*2*3*1/n3+…+1/nn= 1+1+1/1*2*(1-1/n)+1/1*2*3*(1-1/n)(1-2/n)+(n(n-1)(n-2)*…*(n(n-1)))/1*2*3*…*n*1/nn=1+1+1/1*2*(1-1/n)+1/1*2*3(1-1/n)(1-2/n)+… +1/1*2*3*…*n*(1-1/n)(1-2/n)*…*(1-(n-1)/n<1+1+1/1*2+1/1*2*3+…+1/1*2*3*…*n<1+1+1/2+1/22+…+1/2n-1= Sn=(b1(1-qn))/1-q =1+(1-(1/2)n)/1-1/2=1+2(1-1/2n)=3-1/2n-1<3, т.е. переменная величина {(1+1/n)n} ограничена сверху числом 3 кроме того очевидно, что эта переменная величина больше либо равна 2, из ____ видно, что 2≤(1+1/n)n<3, кроме того из ____=>,что переменная величина возрастает, т.к. все слагаемые положительные, а тогда наша переменная величина имеет предел, этот предел обозначают буквой “е”. ч.т.д. Опр: предел переменной величины {(1+1/n)n} называют число “е”,т.е. “е”=limn∞(1+1/n)n. “е”-иррациональное, “е”=2,718281824. Теорема 2: ф-ция (1+1/x)x при x∞ имеет своим пределом число е, т.е. limх∞(1+1/x)x=е. Док-во: в теореме 1 мы установили, что limn∞(1+1/x)x=е, если х-целое положительное число, докажем, что это верно если х дробное или отрицательное число. 1)пусть х+∞, тогда для х, n≤x<n+1, 1/n≥1/x>1/n+1, прибавим 1: 1+1/n≥1+1/x>1+1/n+1; (1+1/n)n+1≥(1+1/x)x>(1+1/n+1)n; найдём пределы переменных величин, стоящих в левой и правой частях нер-ва. limn∞(1+1/n)n+1= limn∞(1+1/n)n *(1+1/n)=е*1=е. limn∞(1+1/n+1)n=limn∞((1+1/n+1)n+1)/(1+1/n+1)=е/1=е. след-но по теореме о пределе промежуточной переменной предел limn+∞(1+1/x)x=е. 2)х-∞, введём новую переменную t по формуле t=-x-1=-(x+1)=>x=-t-1=-(t+1). Если х-∞,то t+∞, получаем: limх-∞(1+1/x)x= limх+∞(1-1/t+1)-t-1= limt+∞(t/t+1)-t-1= limt+∞(t/t+1)t+1= limt+∞(1+1/t)t+1= limt+∞(1+1/t)t * (1+1/t)=е*1=е, таким образом limх∞(1+1/x)x=е. – 2-ой замечательный предел(*). Замечание: пусть х∞, то α0=> равенство (*) я могу переписать в виде: limα∞(1+α)1/α =е. Примеры (см.на др.стороне.) Логарифмы с основанием е называются натуральными или неперовыми по имени одного из первых изобретателей логарифмических таблиц математика Непера (1550-1617). Если еу=х, то у называют натуральным логарифмом числа х или у=lnx.