Ответы на экзаменационные билеты_2 / ALL

№62.Дифференциал ф-ции, его геометрический смысл.

Пусть ф-ция y=f(x)дифф.на отр.ab,существует f’(x)=lim(∆x0)∆y/∆x => ∆y/∆x=f’(x)+α,где α0. ∆y=f’(x)∆x+α∆x (1)Т.к. в общем случае f’(x)≠0,то при постоянном х и переменном ∆х→0,первое слагаемое в рав-ве(1)есть б.м.в.,того же порядка что ∆х.Авторое слагаемое-б.м.в. более высокого порядка чем ∆х lim(∆x→0)α∆x/∆x=0. Таким образом приращение ф-ции ∆у состоит из двух слагаемых из которых 1-ое –главная часть приращения относительно ∆х f’(x)∆x-называют дифференциалом ф-ции и обозначают dy или df(x) dy= f’(x)∆x По опр. Полагают,что дифф. Переменного dx=∆x Это опр. Оправдано,т.к.если y=х,то dy=dx=∆x dx=∆x dy=f’(x)dx,отсюда f’(x)=dy/dx.Т.е. произв. можно представить как отношение дифференциала ф-ции к дифф. арг-та Из (1)=> ∆y=dy+α∆x Т.е. приращение ф-ции отлич.от диф. На б.м.в.более высокого порядка чем ∆х α∆х-б.м.в.более высокого порядка,чем dy.Поэтомув приближённых вычислениях пользуются равенством ∆y≈dy f(x+∆x)≈f(x)+f’(x)∆x-формула для приближ.вычислений.Правила относящиеся к производным сохр. и для дифференциаловПример y=tg²x dy=2tgx*1/cos²x*dx

Геометр.смысл.дифференциала Рассмотрим y=f(x)и соотв. ей кривую(рисунок) NT=MNtgα=∆xf’(x)=dy таким образом, дифф.ф-ции y=f(x) соответств.данным значениям х и ∆х равен приращению ординаты касательной к гр-ку ф-ции f(x) в точке х.

№63.Применение дифференциала к приближённым вычислениям.

Пусть ф-ия y=f(x), x[a;b] дифференцируема на [a;b]. Это значит, что существует f’(x)=lim_X0 x/yx/y=f’(x)+, где 0 при х0; y=f’(x)х+х. Т.к. в общем случае f’(x)0, то при постоянном х и переменном х0 первое слагаемое в правой части равенства y=f’(x)х+х есть бесконечно малая величина того же порядка, что и х. А второе слагаемое есть б.м.в. более высокого порядка чем х, т.к. lim_X0 x/х=lim_X0 =0. Таким образом приращение ф-ии у состоит из двух слагаемых, из которых первое при f’(x)0, есть главная часть приращения, линейная относительно х. Это слагаемое f’(x)х наз. дифференциалом функции и обозначают dy=f’(x)x. По опрнделению полагают, что дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной. Это определение оправдано т.к. у=х, dy=dx=1 х; dx=хdy=f’(x)х. Отсюда можно выразить f’(x)=dy/dx, т.е. производную можно представить как отношение дифференциала ф-ии к дифференциалу аргумента. Таким образом из y=f’(x)х+х следует y=dy+х, т.е. приращение ф-ии отличается от её дифференциала на б.м.в. более высокого порядка чем х, кроме того х при f’(x)0 является б.м.в. более высокого порядка чем dy и lim_X0 y/dy=lim_X0 (dy+x)/dy=lim_X0 1+x/dy=1+ lim_X0 x/f’(x)x=1+0=1. Поэтому в приближённых вычислениях пользуются равенством уdy, f(x+x)–f(x)f’(x)x, f(x+x)f(x)+f’(x)x.

№64. Производные высших порядков.

Пусть ф-ия y=f(x), x[a;b] дифференцируема на [a;b], производная в общем случае сама зависит от х, поэтому можно говорить о производной полученной ф-ии. Производная от производной первого порядка наз. производной второго порядка и обозначается y’’ или y’’(x), таким образом y’’=[y’(x)]. Производная от производной второго порядка наз. производной третьего порядка. Вообще производной n-ого порядка наз. производная от производной n–1-ого порядка, y⁽ⁿ⁾=[y^(n-1)(x)]’. Производные четвёртого, пятого и т.д. порядков обозначаются римскими цифрами. (UV)⁽ⁿ⁾=U⁽ⁿ⁾V⁽ⁿ⁾; (UV)⁽ⁿ⁾=U⁽ⁿ⁾V+nU^(n-1)V’+((n(n-1))/12)U^(n-2)V’’+…+UV⁽ⁿ⁾ - Формула Лейбница.

№65.Теорема Ролля.

Если ф-ция f(x) непрерывна на отр.[аб],дифференцируема во всех внутр.точках этого отр.и на концах x=a,x=b обращается в0 [f(a)=f(b)=0],то существ.внутри отр.[ab]по крайней мере одна точка x=c,a<c<b,в которой производная f'(x) обращ. в0,т.е. f’(c)=0. Док-во.Т.к ф-ция f(x) непрерывна, то она достигает своего наименьшего и наибольш. значения.Возможны 2 случая:1)M=m,т.е.f(x)=const,для любогоx~[ab] f’(x)=0.Поэтому в качестве точки с,о которой говорится в теореме,можно взять любую т.из[ab]2)M<>m,тогда одно из этих чисел отлично от0,предположим для определенности,чтоM>0 и что наиб.знач.ф-ция приним.в т.с f(c)=M,c<>a,c<>b, т.к.f(a)=f(b)=0 Т.к.f(c)-наибольш.знач.(f(c+^x)-f(c))/^x=>0при ^x<0; .(f(c+^x)-f(c))/^x<=0при ^x>0.Перейдём в этих неравенств.к пределу пhи ^x0 Lim(^x0) .(f(c+^x)-f(c))/^x=f”(c)<=0 при ^x>0; Lim(^x0) .(f(c+^x)-f(c))/^x=f”(c)=> 0 при ^x<0 одновремено эти нер-ва могут выполняться когда f”(c)=0,следовательно существ.c~(ab),такое.что f”(c)=0Доказано. Замечания.1.теорема остаётся в силе,если в условии f(a)=f(b)2.Если производн.ф-ции сущ.не во всех точках(аб),то утвержд.теор.может быть неверно.

№66.Теорема Лагранжа.

Пусть на отрезке [a,b] определена f(x), причем: f(x) непр. на [a,b]; f(x) диф. на [a,b]. Тогда $ т-ка cÎ(a,b) такая, что справедлива ф-ла (f(b)-f(a))/b-a= f‘(c).Док-во сводится к сведению к т-ме Ролля. Обазначим (f(b)-f(a))/b-a=λ,и рассмотрим вспомогательную ф-циюF(x)=f(x)-f(a)-λ(x-a)Выясним её геометр.смысл.(рис1)для этого запишем ур-е хордыAB,где А(а;f(a)),B(b;f(b))AB:x-a/b-a=y-f(a)/f(b)-f(a); y=f(a)+λ(x-a)Ф-ция y=F(x)для каждого значения x равна разности ординат точек кривой и хорды,для точек с одинаковой абцис.х.Ф-ция F(x) непрерывна на [a,b] Дифференц. на (a,b) ) F(a)=F(b)=0 Все усл. Ролля соблюдены, поэтому $ т-ка С на (a,b) F‘(c)=0 F‘(c)=f‘(c)-λ f‘(c)=λ f‘(c)= (f(b)-f(a))/b-a Доказано. Геометр.смысл теоремы(рис1)1.(f(b)-f(a))/b-a=tgαГде α-угол наклона хорды к оси Ох 2. f‘(c)-есть tg угла наклона касат.к граф. ф-ции y=f(x) в т.с абцис.х=с.Из (1)и(2)следует,что если кас. сущ. во всех точках дугиAB,то на этой дуге найдётся точка в которой кас.параллельна хордеAB Замечание т.к. c>a,c<b то с=a +θ(b-a),0<θ<И тогда(f(b)-f(a))/b-a=f’(a+θ(b-a)).

№67.Теорема Коши.

Пусть ф-ции f(x) и g(x) непр. на [a,b] и диф. на (a,b). Пусть кроме того, g`(x)¹0. Тогда $ т-ка сÎ(a,b) такая, что справедл. ф-ла (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f‘(c)/g‘(c). Доказательство. Обозначим (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=λ g(b)-g(a)¹0,если бы g(b)=g(a)можно было бы применить теорему Ролля.Рассмотрим вспомог.ф-циюF(x)=(f(x)-f(a)-λ)( g(x)-g(a))F(x) непрерывна на [a,b] Дифференц. на (a,b) ) F(a)=F(b)=0 По т.Ролля $ т-ка С на (a,b) F‘(c)=0 F’(x)=f’(x)-λg’(x) F’(x)=f’(x)-λg’(x)=0 => λ= f‘(c)/g‘(c). (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f‘(c)/g‘(c).Доказано. Замеч.теорема Лагранжа есть частный случай т.Коши если g(x)=x

№68.Теорема Лопиталя.

Пусть ф-ция f(x) и g(x) на некотором отр [ab] удовл.усл.теор.Коши f(a)=g(a)=0.Тогда если сущ. lim(x®a)f‘(x)/g‘(x)=k,то сущ. lim(x®a)f(x)/g(x)=k Т.е.lim(x®a)f(x)/g(x)= lim(x®a)f‘(x)/g‘(x)(но при условии что предел справа сущ.)Док-во Возьмём на[ab] точку х¹а.И применим к отр. [ab] теорему Коши.Получим f(x)-f(a)/g(x)-g(a)=f’(θ)/g’(θ),где a<θ<x f(x)/g(x)= f’(θ)/g’(θ) Если x®a,то θ®a Перейдем к lim при x®a,получим lim(x®a)f(x)/g(x)=lim (x®a) f’(θ)/g’(θ)= lim (θ®a) f’(θ)/g’(θ)= lim(x®a)f‘(x)/g‘(x) Доказано.Замечания.Теорема справедлива в том случае,если f(x) и g(x)неопред.в т.(а),но lim(x®a)f(x)= lim(x®a)g(x)=0 2.Если lim(x®a)f‘(x)/g‘(x)=0/0 и ф-ция удовл. Всем усл.теор.,то правило Лопиталя можно применять ещё раз.3.Теорема справедлива если lim(x®∞)f(x)= lim(x®∞)g(x)=0 Раскрытие 0/0. 1-е правило Лопиталя. Если lim(x®a)f(x)= lim(x®a)g(x), то lim(x®a)f(x)/g(x)= lim(x®a)f‘(x)/g‘(x), когда предел $ конечный или бесконечный. Раскрытие ¥/¥. Второе правило. Если lim(x®a)f(x)= lim(x®a)g(x)=¥, то lim(x®a)f(x)/g(x)= lim(x®a)f‘(x)/g‘(x). Правила верны тогда, когда x®¥,x®-¥,x®+¥,x®a-,x®a+.

№69.Многочлен Тейлора.

Опр. Пусть ф-ция f(x) имеет в т-ке а и некоторой ее окрестности пр-ные порядка n+1. Пусть х - любое значение аргумента из указанной окрестности, х¹а. Тогда между т-ми а и х надутся т-ка e такая, что справедлива ф-ла Тейлора. f(x)=f(a)+f‘(a)/1!(x+a)+f‘‘(a)/2!(x+a)^2+f^(n)(а)/n!+f^(n+1)(e)/ (n+1)!(x-a)^(n+1).Док-во. Сводится к Роллю путем введения вспом. переменной g(x). g(x)=f(x)-f(a)-f‘(x)(x-a)-…-1/n!*f^n(x)(x-a)^n-1/(n+1)!(x-a)^n+1*l. По т-ме Роляя $ т-ка с из (a,b), такая что g(c)=0 l=f^(n+1)(c).

№70.Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания ф-ции.

1)Пусть ф-ция f(x)на отр.[ab] имеет произв. f’(x),x э .[ab] и возр.на этом отр.,тогда f’(x)>0 для люб. x э .[ab] 2)Если ф-ция y=f(x) непрер.на отр. .[ab],дифференц. в(ab),причём f’(x)>0 для люб. x э .[ab] =>f(x) строго возр.на.[ab]Док-во 1)Дадим аргументу x приращение ∆х f(x+∆x)-f(x)/∆x Т.к. y=f(x) возр.,то f(x+∆x)-f(x)/∆x>0,при ∆x>0; f(x+∆x)-f(x)/∆x<0,при ∆x<0 Перейдём к lim при ∆x®0 lim(∆x®0) f(x+∆x)-f(x)/∆x=f’(x)≥0 2)Пусть f’(x)>0 для люб. x э .[ab] ,т.к.ф-ция непрерывна на отр. .[ab],то к ней можно применить теорему Лагранжа о конечных приращениях .Возьмём любые 2 точки х1,х2,х1<x2; f(x2)-f(x1)=f’(c)(x2-x1) => f(x2)-f(x1)>0 =>f(x2)> f(x1) =>ф-ция возр. Аналогичная теорема имеет место и для убыв.ф-ции Замечания 1)Если ф-ция возр.,то касательная к граф.ф-ции в любой точке отр.[ab] образует острый угол с осью Ох,или горизонтальна tgα=f’(x) ≥0 2)Если убыв. То тупой угол.

№71.Максимум и минимум ф-ции. Необходимый признак существования экстремума ф-ции, его недостаточность.

Опр.Т. х0-назыв. т.max ф-ции y=f(x)если для любых ∆х достаточно малых по модулю f(x0+∆x)<f(x0) Т. х0-назыв. т.min ф-ции y=f(x)если для любых ∆х достаточно малых по модулю f(x0+∆x)>f(x0) Ф-ция опред. На [ab] может иметь мax и min лишь во внутр.точках этого отр. Необходимое условие экстремума.Если диффер.ф-ция y=f(x) в т.х0 имеет max min,тоf’(x)=0Док-во.Пусть х0-точка max ф-ции y=f(x).Тогда для любых ∆х,достаточно малых по модулю f(x+∆x)-f(x)<0 => f(x0+∆x)-f(x0)/∆x>0,при ∆x<0; f(x0+∆x)-f(x0)/∆x<0,при ∆x>0 По опр.f’(x)=lim(∆x0) f(x0+∆x)-f(x0)/∆x Причём lim не зависит от того,каким способом ∆x0 Если∆x0, ∆x<0 =>f’(x0)≥0; ∆x0, ∆x>0 =>f’(x0)≤0 оба эти нер-ва возможны одновременно при f’(x0)=0.Доказано Аналогично для случая ,когда х0-точка min.Геометр.смысл.касательная к дифф. Кривой в т.max(min) параллельна оси Ох

№72.Первый достаточный признак существования экстремума ф-ции.

Пусть ф-ция y=f(x),непрерывна в некотором инт.содержащим т.х0 и дифф. Во всех точках этого интервала.Если при переходе через т х0 слева на право произв. меняет знак с +на- ,то в т.х0-ф-ция имеет max.Док-воПусть при переходе через т х0 слева на право произв. меняет знак с +на-Т.е.для всех х достаточно близких к.т.х0 имеем f’(x)>0при x<x0Применим к отр.[х0;х]теорему Лагранжа Получим f(x)-f(x0)=f’(c)(x-x0),где с лежит между х х0 1)x<x0 f’(c)(x-x0)<0 f(x)<f(x0) 2)f’(c)<0 => f(x)<f(x0) Из (1)и (2)следует что f(x)<f(x0)для любых х достаточно близких к знач.х0 =>по опред.в т.х=х0 ф-ция имеет max.Аналогично для min.

№73.Второй достаточный признак существования экстремума ф-ции.

Пусть f’(x0)=0 и кроме того f’’(x)непрер. и сущ.в некоторой окр.т.х0Тогда f’’(x)>0,x0-min; f’’(x)<0,x0-max Док-во.Пусть f’(x0)=0 и ; f’’(x0)<0Т.к.по усл. f’’(x)непрер. в некоторой окр.т.х0,то найдется некоторый малый отр. Содержащ.т.х0,внутри которого f’’(x0)<0 Т.к. f’’(x)=(f’(x))’ то из усл.,что . f’’(x)<0=>(f’(x))’<0 =>f’(x)-убывает на дост.малом отр.содерж.т.x0 f’(x0)по усл.=0 => f’(x)>0 при x<x0; f’(x)<0 при x>x0;=>что при перех.через т.х0 произв. меняет знак с +на- ,то в т.х0-ф-ция имеет max.Аналогично для min.ЗамечаниеЕсли в критической точке f’’(x)=0,то в этой точке может быть или max или min,а может и не быть.

№74.Выпуклость и вогнутость графика ф-ции, необходимые и достаточные условия.

Опр.говорят что кривая y=f(x)обращена выпуклостью вверх на инт.(аб)если в любой точке этого инт. Она лежит не выше любой её касательной на (аб)(рис2) –выпуклая говорят что кривая y=f(x)обращена выпуклостью вниз на инт.(аб)если в любой точке этого инт. Она лежит не ниже любой её касательной на (аб)(рис3)-вогнутая Теорема. (достаточн. признак) Если во всех точках(аб) f’’(x)<0,то кривая y=f(x)выпукла на (аб)Док-воПусть точка х0 принадлеж.(ab)(рис.4)Рассмотрим кас. к граф. ф-ции в т.х=х0Для док-ва теоремы достаточно показать что на(аб)кривая лежит ниже касательной при одном и том же значении аргумента y(кас)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)и рассм.разность y(кр)-y(кас)=f(x)- f(x0)-f’(x0)(x-x0)Имеем y(кр)-y(кас)= f’(с)(x-x0)- f’(х0)(x-x0) где т.x<c<x0Применим к разности f’(с)- f’(х0)ещё раз т.Лагранжа Получим y(кр)-y(кас)=f’’(c1)(c-x0)(x-x0)Возможны 2 случая1)x>x0 => y(кр)<y(кас) 2) x<x0 => y(кр)<y(кас)Т.е.любая точка кривой лежит ниже касат.кривой на (аб),т.е.кривая выпукла. Аналогично для вогнутой

№75.Точки перегиба.Необходимые и достаточные условия существования точек перегиба.

Опр.Точка отделяющая выпуклую часть непрерывной кривой y=f(x)от вогнутой называется точкой перегиба данной кривой.Касательная в т.перегиба пересекает кривую. Теорема(достаточн .усл.т.перегиба) Пусть кривая задана ур-ем y=f(x)Если в т.х=х0 f’’(x0)=0 или f’’(x0)не сущ.,а при перех. Через т. х0 втор.произв.меняет знак,то точка х=х0 явл.точкой перегиба данной кривой.1)Пусть f’’(x)<0 при x<x0, f’’(x)> 0 при x>x0 => x<x0кривая выпукла ;x<x0кривая вогнута=>по опр.тА кривой явл.точкойперегиба данной кривой(рис5) 2)Аналогично для точки B(рис6)