Ответы на экзаменационные билеты_2 / Вопрос№38

№38.Определение предела функции в точке, геометрическая интерпретация.

Опр:пусть ф-ция y=f(x) определена в нек-ой окрестности точки а. число b называют пределом ф-ции f(x) при х∞ если для любого числа >0 сущ.чмсло δ зависящее от >0,такое,что для всех х отличных от “а”и удовлетворяющих нер-ву |х-а|<δ будет выполняться нер-во |f(x)-b|<. y=f(x) b=lim_xa f(x),если для >0 сущ.δ()>0, х≠а,|х-а|<δ,=>|f(x)-b|<; 0<|x-a|<δ. Пусть f(x)b при ха. Т.к. из нер-ва |х-а|<δ=>|f(x)-b|<,то это значит, что для всех х отстоящих от точки а не далее чем на δ точка М графика ф-ции f(x) лежит в полосе шириной 2 ограниченной двумя горизонтальными прямыми(см.рис.1). Опр:если ф-ция yb₁ при xa, x<a,то limf(x)=b₁ при ха-0(см.рис.2.). В этом случае число b₁ назыв.пределом ф-ции f(x) в точке х=а слева. Если х>0, то lim_xa+0 f(x)= b₂, а число b₂ назыв.пределом ф-ции f(x) x=a справа. Пределы слева и справа назыв.односторонними пределами(см.рис.3). Можно доказать, что для того чтобы предел ф-ции f(x) при ха был=b необходимо и достаточно, чтобы сущ.предел f(x). lim_xa f(x)= bсущ. lim_xa-0 f(x)= b и lim_xa+0 f(x)= b. При определении предела ф-ции в точке не требуется, чтобы ф-ции y=f(x) была определена в точке х=а. При нахождении предела ф-ции рассмотр.знач.ф-ции в окрестности точки а. Число b назыв.lim ф-ции f(x)при x∞ если для любого сколь угодно малого “+”числа  сущ.число N=0,такое что для всех |х|>N выполняется нер-во f(x)-b< (см.рис.4.).