Ответы на экзаменационные билеты_2 / Вопрос№45

№45.Первый замечательный предел.

Ф-ция y=^sinx/_x при x0 не определена в точке х=0. найдём её предел при x0 (см.рис.1). Пусть 0<x<^π/₂. S_∆OMA<Sсект. AMO<S_∆OCA. Scект.=πR²/_2π*x,т.е. ½R*|MB|<½R²*x<½R*|CA|; ½sinx<½x<½tgx|*2; sinx<x<tgx|:sinx; 1<^x/_sinx<¹/_cosx; cosx< ^sinx/_x<1(*), т.к. lim_x0cosx=1; lim_x0=1, то по теореме о пределе промежуточной переменной => lim_x0 ^sinx/_x=1. т.к.ф-ция y=^sinx/_x и ф-ция y=cosx-чётные. sixx(-x)/-x=-sinx/-x=sinx/x,то доказанное нер-во (*) справедливо и при x<0. (см.рис.2). lim_x∞^sinx/_x= lim_x∞(sinx*¹/_x)=0. Примеры: 1) lim_x0^tgx/_x=lim_x0(^sinx/_x*¹/_cosx)=1*1=1; 2)lim_x0 ^sinkx/_x= lim_x0(^sin(kx)/_(kx)*k)=k*1=k; 3)lim_x0^1-cosx/x²=[⁰/₀]=lim_x0 2sin^{2 x}/₂/x²=lim_x0 (sin^x/₂)/^x/₂*(sin^x/₂)/(^x/_2*2)=½.