Ответы на экзаменационные билеты_2 / Вопрос№70

№70.Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания ф-ции.

1)Пусть ф-ция f(x)на отр.[ab] имеет произв. f’(x),x э .[ab] и возр.на этом отр.,тогда f’(x)>0 для люб. x э .[ab] 2)Если ф-ция y=f(x) непрер.на отр. .[ab],дифференц. в(ab),причём f’(x)>0 для люб. x э .[ab] =>f(x) строго возр.на.[ab]Док-во 1)Дадим аргументу x приращение ∆х f(x+∆x)-f(x)/∆x Т.к. y=f(x) возр.,то f(x+∆x)-f(x)/∆x>0,при ∆x>0; f(x+∆x)-f(x)/∆x<0,при ∆x<0 Перейдём к lim при ∆x®0 lim(∆x®0) f(x+∆x)-f(x)/∆x=f’(x)≥0 2)Пусть f’(x)>0 для люб. x э .[ab] ,т.к.ф-ция непрерывна на отр. .[ab],то к ней можно применить теорему Лагранжа о конечных приращениях .Возьмём любые 2 точки х1,х2,х1<x2; f(x2)-f(x1)=f’(c)(x2-x1) => f(x2)-f(x1)>0 =>f(x2)> f(x1) =>ф-ция возр. Аналогичная теорема имеет место и для убыв.ф-ции Замечания 1)Если ф-ция возр.,то касательная к граф.ф-ции в любой точке отр.[ab] образует острый угол с осью Ох,или горизонтальна tgα=f’(x) ≥0 2)Если убыв. То тупой угол.