Ответы на экзаменационные билеты_2 / Вопрос№67

№67.Теорема Коши.

Пусть ф-ции f(x) и g(x) непр. на [a,b] и диф. на (a,b). Пусть кроме того, g`(x)¹0. Тогда $ т-ка сÎ(a,b) такая, что справедл. ф-ла (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f‘(c)/g‘(c). Доказательство. Обозначим (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=λ g(b)-g(a)¹0,если бы g(b)=g(a)можно было бы применить теорему Ролля.Рассмотрим вспомог.ф-циюF(x)=(f(x)-f(a)-λ)( g(x)-g(a))F(x) непрерывна на [a,b] Дифференц. на (a,b) ) F(a)=F(b)=0 По т.Ролля $ т-ка С на (a,b) F‘(c)=0 F’(x)=f’(x)-λg’(x) F’(x)=f’(x)-λg’(x)=0 => λ= f‘(c)/g‘(c). (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f‘(c)/g‘(c).Доказано. Замеч.теорема Лагранжа есть частный случай т.Коши если g(x)=x