Как возможна чистая математика?

В чем заключается современный смысл этой проблемы? Он состоит в интересной особенности математического знания. Если принять на веру гипотезу его опытного происхождения, то оно должно было остаться на уровне геометрии и арифметики, то есть измерения земельных площадей, объемов архитектурных сооружений и счета, возможно, дифференциального и интегрального исчисления и начал алгебры. Тем не менее, математика создала теории высочайшей степени абстракции, не связанные с опытом ни прямо, ни косвенно: теорию множеств, топологию, математическую логику, другие теории. Это, правда, произошло после Канта, но тем более удивительна его прозорливость, он сумел разглядеть в математическом знании своего времени зачатки взглядов, опережающих опыт. Он заметил в математике способность получать знания, выводя их из самого разума, как из того, что существует в действительности, но при этом еще и является разумом. Когда естествознание обнаруживает новый предмет познания или ставит новую проблему, оно находит в математике уже готовый и развитый метод ее решения. Как такое возможно?

Математика - наука, хотя некоторые и находят в ней сходство с философией. Поэтому для нее вопрос о том, как возможна чистая математика равнозначен очень важному для науки вопросу: каков предмет математической науки, что она изучает? Кант дал развернутую рефлексию ее предмета и ответил на этот вопрос.

Так что же является предметом математической науки? Решая такую задачу, Кант исходил из предпосылки, полученной им при внимательном изучении работ Д.Юма: мы не можем знать, каковы вещи сами по себе, мы можем знать лишь каковы они в нашем восприятии, в нашем созерцании. Созерцание предшествует познанию вещей и получению о них опытного знания. Оно предшествует тому представлению, какое у нас сложится после опытного рассмотрения предметов действительности.

Он считал, что если математика предшествует опыту, то чистому разуму математического познания свойственна априорная идея формы, ей свойственна готовность воспринимать вещи именно таким, а не иным образом. Эта присущая разуму идея формы есть пространство и время. Вне нашего разума ни пространства, ни времени в мире нет. Математика возможна лишь потому, что она выводит из чистого разума идею априорных пространства и времени и полагает их в основу опыта. Предмет чистой математики есть пространство и время, а они выводятся разумом из своей внутренней природы.

Как такое возможно? - Зададимся уже мы этим Кантовским вопросом. - Разум такое же явление действительности, как и другие, изучаемые им явления. Познавая внешний мир, он познает себя, а обращая внимание на себя, он исследует внешний мир. Он не способен абстрагироваться от самого себя и, хочет он того или не хочет, он вкладывает в свое опытное восприятие явлений свои внутренние черты. Разум предрасположен видеть внешние явления в определенных, присущих именно ему пространственно-временных рамках. Такие рамки выступают условиями восприятия и научного описания внешних явлений, условиями, вытекающими из природы познающего разума.